Límite de una función periódica

Question

Me he topado con esta pregunta en mi curso y me he quedado sin ideas. Deja que $f$ sea una función periódica $$f(x)=f(x+l), \qquad l>0$$

Prueba que si no es constante, entonces $\lim_{x\to 0}f\left(\frac1x\right)$ no existe.

No entiendo por qué es cierto, y mucho menos cómo demostrarlo.

Answer 1

Supongamos que el límite $\lim_{x \to 0} f(1/x) = a$ existe. Sea $\varepsilon > 0$ . Ahora existe $\delta > 0$ tal que \begin{align} |x| < \delta & \implies |f(1/x) - a| < \varepsilon\,. \end{align} Esto es equivalente a $$ |y| > 1/\delta \implies |f(y) - a | < \varepsilon\,. $$ Así, para todos los $y \in (1/\delta, \infty)$ tenemos $f(y) \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon)$ .

Porque $f(y-l) = f(y)$ esto implica que para todo $y \in (1/\delta -l, \infty)$ tenemos $f(y) \in (a- \varepsilon, a + \varepsilon)$ . Continuando con esto se demuestra que $f(y) \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon)$ para todos $y \in \mathbb{R}$ .

Desde $\varepsilon$ era arbitraria, debemos tener $f(y) = a$ para todos $y$ .

Así que si el límite existe, $f$ es constante. Por lo tanto, si $f$ no es constante, el límite no existe.

Answer 2

Dejemos que $\exists a, b :$ $f(a) \ne f(b)$ .

Dejemos que $\exists \lim_{x \to 0} f(\frac{1}{x}) = c$ .

Dejemos que $\epsilon > 0: |f(\frac{1}{x}) - c| < \frac{|f(a) - f(b)|}{2}\ \forall x \in (0, \epsilon).$

Pero $\frac{1}{a + nl}, \frac{1}{b + nl} \to 0$ si $n \to \infty$ .

Entonces $\exists n: \frac{1}{a + nl}, \frac{1}{b + nl} \in (0, \epsilon).$

Entonces $$|f(a) - f(b)| = |f(a + nl) - f(b + nl)| =|f(\frac{1}{\frac{1}{a + nl}}) - f(\frac{1}{\frac{1}{b + nl}})| \le $$$$ |f(|frac{1}{frac{1}{a + nl}}) - c| + |f(|frac{1}{frac{1}{b + nl}}) - c| < |frac{{f(a) - f(b)|}{2} + \frac{f(a) - f(b)|}{2} = |f(a) - f(b)|. $$