Más precisamente, si $a$, $b$ y $c$ son números enteros, mostrar que hay solamente un número finito de enteros positivos $x$ y $y$ tal que $x(x+1) = y^4+y^3+ay^2+by+c$.
Tengo una solución, que va a mostrar en dos días si no mejor uno se encuentra.
Respuesta
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marty cohen
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Aquí está mi respuesta. Curiosamente, no utiliza propiedades de la divisibilidad.
Estamos mirando $x(x+1) = y^4+y^3+ay^2+by+c$.
Voy a demostrar que, si $a$, $b$, y $c$ son enteros, hay al número finito de soluciones en positivo integral de la $x$$y$. Esto se llevará a cabo mediante la búsqueda de los límites para la $y$ en términos de $a$, $b$, y $c$.
Multiplicando por 4, $(2x+1)^2-1 =4y^4+4y^3+4ay^2+4by+4c $
o $(2x+1)^2 =4y^4+4y^3+4ay^2+4by+d $, donde $d = 4c+1$.
Mi objetivo es mostrar de forma algebraica que este polinomio en $y$ es entre dos consecutivos entero plazas por lo suficientemente grande como $y$.
En primer lugar,
$(2y^2+y)^2 =4y^4+4y^3+y^2 $.
Siguiente,
$\begin{align} (2y^2+y+a)^2 &=4y^4+4y^3+y^2 +2a(2y^2+y)+a^2 \\ &=4y^4+4y^3+(4a+1)y^2+2ay+a^2 \\ \end{align} $.
Finalmente,
$\begin{align} (2y^2+y+a-1)^2 &=4y^4+4y^3+y^2 +2(a-1)(2y^2+y)+(a-1)^2 \\ &=4y^4+4y^3+(4a-3)y^2+(2a-2)y+(a-1)^2 \\ \end{align} $.
Desde $(2x+1)^2 =4y^4+4y^3+4ay^2+4by+d $, para $(2x+1)^2$ entre estas consecutivos plazas, necesitamos
$(4a-3)y^2+(2a-2)y+(a-1)^2 <4ay^2+4by+d <(4a+1)y^2+2ay+a^2 $.
Voy a mostrar ahora que ambas desigualdades se cumplen por lo suficientemente grande como $y$.
La primera desigualdad es la misma que $0 <3y^2+(4b-2a+2)y+d-(a-1)^2 $
o $0 <9y^2+6(2b-a+1)y+3(d-(a-1)^2) $
o $0 < (3y-(2b-a+1))^2-(2b-a+1)^2 +3(d-(a-1)^2) $
o $ (3y-(2b-a+1))^2 >(2b-a+1)^2 -3(d-(a-1)^2) $
y esto es cierto para $y$ lo suficientemente grande.
Para la segunda desigualdad es verdadera, necesitamos $4ay^2+4by+d <(4a+1)y^2+2ay+a^2 $
o $y^2+(2a-4b)y+a^2-d > 0 $
o $(y+(a-2b))^2-(a-2b)^2+a^2-d > 0 $
o $(y+(a-2b))^2 >(a-2b)^2-a^2+d =a^2-4ab+4b^2-a^2+d =4b^2-4ab+d $.
Esto es cierto para $y$ lo suficientemente grande, de manera que la ecuación no tiene soluciones para los grandes suficientemente $y$.
