¿Dónde me equivoco al resolver esta integral que involucra un cuadrático?

Question

Pregunta simple. Tengo un error aritmético en algún lugar aquí pero no las encuentra.

$\int \frac{3x-1}{x^2+10x+28}dx$

$\frac{1}{3}\int \frac{3x-1}{\frac{1}{3}(x+5)^2+1}dx$

Conjunto de:

$u=x+5$

$x=u-5$

$dx = du$

$\frac{1}{3}\int \frac{3u-16}{\frac{u^2}{3}+1}du$

$\frac{1}{3}\int \frac{3u}{\frac{u^2}{3}+1}du - \frac{1}{3}\int\frac{16}{\frac{u^2}{3}+1}du$

Conjunto de:

$u = \sqrt3 tan\theta$

$du = \sqrt3 sec^2\theta d\theta$

$\theta = arctan(\frac{u}{\sqrt3})$

$3\int tan\theta d\theta - \frac{1}{3}\int 16\sqrt3d\theta$

$3 ln(sec(arctan(\frac{u}{\sqrt3}))) - \frac{16}{\sqrt3}(arctan(\frac{u}{\sqrt3}))+c $

$3 ln(\frac{\sqrt{u^2+3}}{\sqrt3})-\frac{16}{\sqrt3}arctan(\frac{u}{\sqrt3})+c$

$3 ln(\frac{\sqrt{(x+5)^2+3}}{\sqrt3})-\frac{16}{\sqrt3}arctan(\frac{x+5}{\sqrt3})+c$

$\frac{3}{2}ln(\frac{(x+5)^2}{3})-\frac{16}{\sqrt3}arctan(\frac{x+5}{\sqrt3})+c$

Creo que es correcta pero no debería ser un $3$ en el denominador en el primer trimestre. Pero no puedo ver donde fue mal.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\ln(g(x)/c)=ln(g(x))-ln(c)$ para cualquier función $g(x)$. Puesto que está encontrando una primitiva, cualquier extra agrega/resta constantes son irrelevantes.