La integral en cuestión es $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(\alpha x)}{(x^2 + b^2)^2}\,dx, $$ with $\alfa , b \geq 0$.
Yo estaba pensando en la evaluación de la integral alrededor de un semicírculo con un radio de $R$ (tomando $R$$\infty$), y un segmento de línea en la parte inferior (es decir, el contorno con el segmento de la línea de$-R$$R$, y el semicírculo en la parte superior). Yo iba a evaluar la integral de la función $$ f(z) = \frac{e^{iz \alpha} }{(z^2+b^2)^2}$$ alrededor de este contorno.
Sin embargo, dado que existe una singularidad en $ib$ , un punto contenidas en el contorno, tuve que usar el teorema de los residuos para calcular la integral alrededor de toda la región. Pensé que esto sería una tarea fácil, pero en realidad resultó ser un atraco, como el uso del límite de la técnica de la evaluación de los polos de orden 2 me llevan a un límite que no pude averiguar cómo calcular.
Para resumir mi intención era tomar la integral de $f(z)$ alrededor de las dos piezas del contorno, muestran que la parte superior se va a 0 y, a continuación, tenga en cuenta que la integral alrededor de la parte inferior de la línea de segmento es el doble que el deseado integral, ya que la función de la integral es aún. Entonces tenemos que el integral es la mitad de los residuos de valor. Sin embargo me quedé atrapado en el cálculo de los residuos con el límite de la definición y no pudo encontrar una Laurent expansión de mi función.
Edit: Solo para aclarar, el contorno que estoy describiendo se puede parametrizar como $$\phi_1(t) = t ,-R\leq t\leq R \text{ and }\phi_2(t) = Re^{it}, 0\leq t\leq\pi.$$
