Control de cordura en la factorización de$\langle 5 \rangle$ en$\mathbb{Z}_{10}$

Question

Mirando a $\mathbb{Z}_{10}$, que consta de $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ con la adición y la multiplicación de ajustar, de modo que el anillo está cerrada en ambas operaciones.

Claramente $5 = 3 \times 5 = 5 \times 5 = 5 \times 7 = 5 \times 5 \times 5 = \ldots$. Es un poco extraño que $5$ es su propio cuadrado y el cubo, pero así es.

Como me enseñaron aquí hace un par de semanas, este dominio es Noetherian, lo que significa que los ideales pueden ser factorizados finitely y de forma exclusiva.

A continuación, $\langle 5 \rangle$ no es un alojamiento ideal, pero puede ser factorizados como un producto de primer ideales. Uno de los factores podría ser $\langle 3, 5, 7 \rangle$, pero desde $3 = -7$, $\langle 3, 5 \rangle$ va a hacer. Y, a continuación,$\langle 3, 5 \rangle \langle 3, 5 \rangle = \langle 9, 5 \rangle$, pero $9 = -1$, lo que significa $\langle 5 \rangle = \langle 3, 5 \rangle^2$.

Esto es correcto? O ¿qué hice mal en algún lugar?

Answer 1

Notherian no es suficiente para la factorización única de ideales, necesitas un dominio de Dedekind para eso, que$\Bbb Z_{10}$ no lo es. En este caso, por ejemplo,$(5)$ es ideal porque$\Bbb Z_{10}/(5)\cong\Bbb Z_5$, y de hecho puede obtenerlo de los teoremas básicos de isomorfismo en anillo:

ps

Dado que$$\Bbb Z/5\cong \Bbb Z/10 \bigg/ (5\Bbb Z/10)$ es un ideal ideal de$(5)\supseteq (10)$.

Answer 2

Así, por un lado, usted se olvidó de que los dominios como $\textbf{Z}_{10}$ tienen números que son primos, pero no reducible. Con los cálculos que se han hecho, se puede comprobar que siempre que $ab = 5$, $a = 5$ o $b = 5$. Eso significa que el primer. Además de que también he observado lo que sucede con $a = b = 5$.

Números primos generar primer ideales. Y el primer ideales son máximos ideales. Cuando se elimina $7$$\langle 3, 5, 7 \rangle$, se dio cuenta de que estaban retirando redundante generador. Pero se pasa por alto que el $\langle 3 \rangle$ es la totalidad del anillo, y por lo $\langle 3, 5 \rangle$ es un director ideal, después de todo, y trivialmente.

Por supuesto, esto no significa que usted está loco, simplemente que suena como estos son una especie de locura por las normas de $\textbf{Z}$ cuadrática y entero de los anillos.