Definición de la tensión en la microescala

Question

Tomemos, para simplificar, un fluido de Lennard-Jones por debajo de la temperatura crítica, es decir, que hay una separación de fases en fluido y gas y, por tanto, se forma una interfase. La imagen a macroescala es que hay una tensión que actúa tangente a esta interfaz. Pero, por supuesto, a microescala las cosas no son tan bonitas: La interfaz es difusa y, por lo tanto, la tensión interfacial también debe distribuirse en consecuencia.

Mi pregunta es, entonces: ¿cómo se define la tensión (en sistemas clásicos) con interacciones de largo alcance?

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A continuación he enumerado un par de opciones. Según tengo entendido, las diferencias en los enfoques están muy relacionadas con la forma en que se manejan las cosas en la relatividad general: Hilbert vs. Canónico vs. Tensores de tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld. Supongo que el debate, si es que alguna vez lo hubo, se ha resuelto en la RG, pero al no ser un experto en la materia, agradecería mucho que se explicaran de forma sencilla las lecciones que se extraen de ellas.

1. Ahora, podríamos definir la tensión como el tensor cuya divergencia es la densidad de fuerza. Ahora bien, obviamente esta definición no es única, y al igualar la derivada temporal de la densidad de momento con la de la fuerza, terminamos con $$\sigma^{mn}(r) = \left\langle- \sum_i \frac{p^m_ip^n_i}{m}\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i) + \sum_{i>j}\nabla_i^m\varphi(r_{ij})\int_i^j\delta(\mathbf{r}-\mathbf{\ell})\mathrm{d}\ell^n\right\rangle$$ donde la integral es sobre cualquier contorno de la partícula $i$ a $j$ [Schofield & Henderson, Proc. R. Soc. Lond. A 379 , 231 (1982)]. El hecho de que este contorno sea arbitrario está en el centro del problema: con diferentes elecciones se obtienen resultados diferentes, lo cual es problemático. A menudo se defiende que el propio tensor de tensiones es una entidad no física, y que uno sólo debería preocuparse por las cantidades termodinámicas medibles, como la tensión interfacial (que debería ser una integral sobre la tensión), pero esto me parece impar. Aunque esta última puede calcularse a partir de la primera, si el tensor de esfuerzo no es único, también lo sería la tensión interfacial (en realidad, esto no ocurre en la geometría plana, pero sí en sistemas más generales).

2. Otra opción podría ser utilizar, al igual que el mencionado tensor de tensión-energía de Hilbert, $$\sigma^{mn} = \frac{2}{\sqrt{g}}\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta g_{mn}}$$ donde la variación de la energía libre $\delta \mathcal{F} = \int \sqrt{g}\sigma^{mn}\delta\varepsilon_{mn}\mathrm{d}^3x$ ; $\varepsilon_{mn}$ siendo la tensión, interpretada mediante cambios métricos para la fórmula anterior [Mistura, Int. J. Thermophys. 8 , 397 (1987)]. Esta forma es automáticamente simétrica y única. Además, es equivalente a la definición anterior si se elige que los contornos de integración sean líneas rectas de un átomo a otro. Todo esto suena muy bien, pero ¿dará siempre los resultados correctos para las cantidades medibles es decir ¿es totalmente coherente con la termodinámica?

Además de estas cuestiones, es probable que haya que preocuparse por la no extensibilidad.

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En resumen : ¿Se puede generalizar el tensor de tensión-energía de Hilbert a la termodinámica clásica llamando a la variación de la energía libre con respecto a la métrica (multiplicada por $2/\sqrt{g}$ ) el tensor de tensión? ¿O hay que utilizar el tensor de tensión(-energía) canónico? Esto último llevaría a problemas de invariancia gauge; ¿Cómo se interpreta esto? ¿Existe una prueba evidente? Y por último: ¿Están los enfoques sugeridos condenados a fracasar debido a la naturaleza de largo alcance del problema y, por tanto, a la no extensibilidad de las cantidades termodinámicas?

Answer 1

Sólo el tensor de esfuerzo simétrico es físico, ya que la termodinámica exige un tensor de esfuerzo simétrico. Como el tensor de tensiones simétrico es único, tu opción 2 es la correcta. (Las versiones canónicas pueden ser más sencillas, pero no tienen por qué ser físicas; véase el momento canónico, que suele ser diferente del momento físico).

Esto no tiene ninguna relación con la cuestión de las fuerzas de largo alcance, ya que el tensor de tensiones es un concepto totalmente local. En particular, el tensor de tensiones ya está determinado en el nivel más fundamental (teoría cuántica de campos) y sigue siendo el mismo en todos los niveles de aproximación.

Answer 2

Respuesta corta : La mayor dificultad radica en las propias definiciones, y ninguna de las posibilidades dadas tiene un significado físico real que pueda relacionarse unívocamente con la tensión en sistemas no extensivos en su significado original mecánico convencional.

El largo : ¿A qué tipo de sistemas se aplica esto? Esto no se responde refiriéndose a sistemas con interacciones de largo alcance, porque ese mismo concepto no está claramente definido, o mejor dicho, no está completamente claro qué efecto tiene en el comportamiento macroscópico del sistema.

Por ejemplo, las moléculas que interactúan con el potencial de Lennard-Jones muestran un comportamiento de gas ideal, así como un comportamiento de gas de Van der Waals, e incluso un comportamiento líquido, en las condiciones adecuadas. ¿Ha cambiado el potencial? No, sólo la energía cinética media de las moléculas que repercute en la separación media, así que aparentemente, sea cual sea la clasificación que queramos dar a este potencial, es evidente que puede dar lugar a un comportamiento macroscópico diferente, e incluso a la extensividad.

Lo mismo ocurre con los núcleos: sea cual sea nuestra definición de largo alcance, está claro que el potencial debido a uno de los nucleones tiene un alcance de tamaño comparable al del núcleo, y se esperaría que fuera un alcance suficientemente largo. Sin embargo, el núcleo muestra una saturación como la de los líquidos, con una densidad constante para todos los núcleos estables.

Además, el enfoque adoptado en este tema determina en gran medida lo que puede esperar. La tensión es un concepto procedente de descripciones de tipo macroscópico, en el que no te importan los detalles de la descripción microscópica. También requiere que el sistema que se quiere caracterizar con la tensión tenga cierto grado de rigidez. Quiero decir con esto que las diferentes partes del sistema tienen que estar unidas de tal manera que el estrés no cambie el sistema por completo, sino que ofrezca una oposición al mismo.

Este es, sin duda, el caso de los sólidos, para los que incluso se podría hacer un zoom y seguir encontrando partes microscópicas que se comprimen o se extienden o se retuercen bajo tensión, pero nunca se deslizan unas a otras como las capas.

Sin embargo, el caso de los líquidos es interesante, porque aunque microscópicamente las partículas no están realmente conectadas, y pasarán unas a través de otras casi desconectadas, a un nivel superior se puede definir la tensión en base a la cantidad de materia en promedio en cada porción de su volumen, lo que ecibirá esta constancia y tipo de rigidez necesaria para una descripción en términos de tensión mecánica. Los gases, bajo ciertas condiciones, pueden ser tratados como tales, pero de nuevo, a cierta escala suficientemente macroscópica.

Los contras de describir un fluido en estos términos son, pues, que esto sólo es válido para una escala en la que las partes del sistema están en equilibrio termodinámico, al menos localmente. Si no es así, es un lío describirlo en términos termodinámicos, y sigue siendo objeto de investigación.

Así que para un sistema de partículas voladoras interactuantes como el de la deficinición uno, para mí no tiene sentido tener una cuenta detallada de la energía a tal escala microscópica, al hacer una derivada del tiempo. Para mí no tiene sentido porque es una deficinición teórica tan útil como definir la trayectoria del movimiento browniano por el número de golpes que recibe un promedio de tiempo: no aporta nada sobre la naturaleza del fenómeno, y básicamente está diciendo: ``si conociéramos todos los momentos y fuerzas para cada instante, podríamos calcular el comportamiento macroscópico del sistema'', lo cual es poco práctico incluso para los estándares teóricos. Además, sabemos que el comportamiento colectivo, planteado a partir de un comportamiento microscópico caótico, puede ser a menudo muy simple. Para mí, esto es un llamamiento a los teóricos para que encuentren un enfoque diferente, tal vez a escala meso, en el que se explique el comportamiento relevante, donde la descripción ab initio no sea mecanicista.

Este ya es el caso de la segunda opción que das. Y el hecho de que simplificando considerablemente las vías de integración en la primera te da la segunda ya demuestra lo anterior. Esto no significa que microscópicamente las partículas se comporten de forma tan simplista, sólo significa que si el sistema macroscópico se comporta de forma simple (es decir, equilibrio termodinámico local, isotrópico) entonces obtienes el mismo comportamiento medio que si el sistema fuera más simple.