Trayectoria diferenciable de los operadores y sus inversos

Question

Sea $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert separable. Consideremos un mapa diferenciable $\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{H}), t \mapsto A(t)$ donde $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ es el espacio de operadores lineales acotados de $\mathcal{H}$ en sí mismo con respecto a la norma del operador (por diferenciable entiendo diferenciable en el sentido de Frechet). Además, supongamos que para cada $t$ que $A(t)$ tiene las siguientes propiedades:

(1) por cada $t$ existe una descomposición ortogonal de $\mathcal{H} = \mathcal{H}_{t}^{1} \oplus \mathcal{H}_{t}^{2}$ donde $\mathcal{H}_{t}^{1}$ es un subespacio de dimensión finita de $\mathcal{H}$ ; (2) $A(t)|_{\mathcal{H}_{t}^{1}} \equiv 0$ , $A(t)$ son autoadjuntos y $\dim{(\mathcal{H}_{t}^{1})} = n > 1$ (aquí $n$ es independiente de $t$ por lo que para todo $t$ , $\mathcal{H}_{t}^{1}$ tienen la misma dimensión mayor que $1$ ); (3) $A(t)|_{\mathcal{H}_{t}^{2}}:\mathcal{H}_{t}^{2} \rightarrow \mathcal{H}_{t}^{2}$ es un isomorfismo; (4) El $(A(t)|_{\mathcal{H}_{t}^{2}})^{-1} : \mathcal{H}_{t}^{2} \rightarrow \mathcal{H}_{t}^{2}$ son operadores acotados; (5) $(A(t)|_{\mathcal{H}_{t}^{2}})^{-1}A(t) : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}_{t}^{2}$ es una proyección ortogonal.

Ampliar ahora los opradores $(A(t)|_{\mathcal{H}_{t}^{2}})^{-1}$ a todo el $\mathcal{H}$ por: $A(t)^{-1}x = 0$ si $x \in \mathcal{H}_{t}^{1}$ y $A(t)^{-1}|_{\mathcal{H}_{t}^{2}} = (A(t)|_{\mathcal{H}_{t}^{2}})^{-1}$ .

¿Es cierto que entonces el mapa $\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{H}), t \mapsto A(t)^{-1}$ ¿es Frechet-diferenciable? Estoy seguro de que he mencionado demasiados supuestos. Sé que si los operadores $A(t)$ son invertibles (en todo el espacio) entonces el mapa $t \mapsto A(t)^{-1}$ es diferenciable de Frechet. Pero, ¿y en este caso?

Clark

Answer 1

Sí, el mapa que describes es diferenciable (en el sentido de Fréchet o en el sentido de diferencia-cuota; no hay diferencia cuando el dominio es ${\mathbb R}$ ). He aquí una demostración utilizando la integral de Dunford-Taylor para construir el operador que se llama $A(t)^{-1}$ :

1. Sea $J\subset {\mathbb R}$ cualquier intervalo compacto. Por las hipótesis, siempre que $\epsilon\ne0$ y $|\epsilon|$ es suficientemente pequeño, $A(t)+\epsilon I$ tiene una inversa acotada para todo $t\in J$ . Por lo tanto $0$ es el único punto en el espectro de $A(t)$ dentro de un círculo $\Gamma_\epsilon$ de algún radio $\epsilon>0$ y es un valor propio de tipo finito.

2. $A(t)$ está uniformemente limitada en $J$ por lo que su espectro está contenido dentro de un círculo $\Gamma_R$ de radio suficientemente grande $R$ .

3. Sea $\Gamma$ sea el límite del anillo $\epsilon<|z|<R$ rastreo $\Gamma_R$ en el sentido positivo (antihorario) y trazando $\Gamma_\epsilon$ en sentido negativo. El operador $$ {\mathcal P}(t) = \frac1{2\pi i} \int_\Gamma (zI-A(t))^{-1}\,dz $$ es la proyección espectral de ${\mathcal H}$ en ${\mathcal H}^2_t={\rm range\,}A(t)$ . ( ${\mathcal P}(t)$ conmuta con $A(t)$ ).

   Por otra parte, tenemos $$ A(t) = \frac1{2\pi i} \int_\Gamma (zI-A(t))^{-1}z\,dz $$ y el operador $$ B(t) = \frac1{2\pi i} \int_\Gamma (zI-A(t))^{-1}z^{-1}\,dz $$ tiene la propiedad de que $B(t)A(t)=A(t)B(t)={\mathcal P}(t)$ . Es decir, $B(t)$ es el operador que llama $A(t)^{-1}$ . Se puede justificar fácilmente la diferenciación bajo el signo integral e inferir que $B(t)$ es diferenciable.