El límite de $\lim_{n\to \infty}\frac{T_n(n)}{e^n}$ $T_n(x)$ Dónde está el polinomio de Taylor de $e^x$

Question

A partir de trabajar en un problema que se llevan a considerar la función de $\frac{T_n(n)}{e^n}$ donde $T_n(x)$ $n$'th orden de polinomio de Taylor de $e^x$.

Evidencia numérica sugieren que

$$\lim_{n\to \infty} \frac{T_n(n)}{e^n} \equiv\lim_{n\to \infty} \frac{\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}}{\sum_{k=0}^\infty\frac{n^k}{k!}} = \frac{1}{2}$$

Hay una buena prueba de esta afirmación? De manera más general: ¿existe un "estándar" de enfoque para la evaluación de límites en la forma $\lim_{n\to\infty}\frac{f_n(x_n)}{f(x_n)}$ donde $f_n$ es una serie convergente (uniformemente) a $f$ e donde: $x_n$ es una desenfrenada de la secuencia? También me gustaría apprechiate refs. a preguntas similares en este sitio o en la literatura (sólo pude encontrar este).

Answer 1

Mira aquí: Un límite implica serie y factoriales

La respuesta de los enlaces aquí: http://journals.cambridge.org/download.php?file=%2FPEM%2FPEM2_24_03%2FS0013091500016503a.pdf&code=fd828d6902ca6a380244640216120c97

Esto tiene un resultado de (quién más) Ramanujan donde demostró (en S. RAMANUJAN, J. Ind. De matemáticas. Soc. 3 (1911), 128; ibid. 4 (1911), 151-152; Los Papeles Recogidos (Chelsea, Nueva York, 1962), 323-324) que

$$e^n/2 = \sum_{k=0}^{n-1} n^k/k! + (n^n/n!) r(n)$$

donde, para un gran $n$, $r(n) \approx 1/3 + 4/(135n) + O(1/n^2)$.