Bueno, una respuesta un tanto jocosa sería
Partial Differential Equations
--> Can we use Viscosity Solutions and/or Maximum Principles?
Yes? Do it and publish. End.
No? Continue.
--> Is the equation/system integrable?
Yes? Write down the Lax Pair/conservation laws and publish. End.
No? Continue.
--> Integrate by parts and publish. End.
(Nota: la "integración por partes" incluye soluciones débiles, métodos de elementos finitos, métodos de energía...)
Una respuesta más seria es que hay casi tantos "métodos" para resolver ecuaciones como "tipos de ecuaciones". Para las EDOs la entrada de Wikipedia hace un trabajo razonable para ilustrar esto: la taxonomía de las ecuaciones son generalmente por el método con el que se puede estudiar . Desgraciadamente, la clasificación por métodos generalmente se asemeja poco a la atributos físicos de las ecuaciones (lineal, no lineal, qué tipo de no linealidad, el grado, la parte de principio del operador diferencial, etc).
Una fantástica ilustración clásica de esto es el Ecuación de Korteweg--de Vries describiendo las olas de aguas poco profundas. La ecuación en sí parece bastante sencilla:
$$ \partial_t u + \partial^3_x u + u\partial_x u = 0 \qquad \qquad (KdV)$$
para algunos $u$ definida en función de $t$ y $x$ . Como Dick Palais explicó en su artículo de Bullentin sobre los solitones En este caso, uno podría estar tentado de adivinar el comportamiento en el tiempo de las soluciones de esta ecuación, basándose en sus primos más simples:
$$ \partial_tu + \partial^3_x u = 0 \qquad\qquad (3disp) $$ $$ \partial_t u + u \partial_x u = 0 \qquad \qquad (Bgr) $$
La primera ecuación se obtiene conservando el "término de orden principal" en la $x$ -derivadas (que sería lo que ocurriría si se intenta clasificar las ecuaciones por pedir ) y eliminando el "término de orden inferior" no lineal. La segunda ecuación se obtiene mediante un procedimiento de "EDO en el tiempo", lo que sugiere, a grandes rasgos, que la resonancia es lo principal de lo que hay que preocuparse en las ecuaciones de evolución (y la resonancia se manifiesta en las interacciones no lineales de una función con ella misma, cuanto mayor sea la potencia algebraica [más veces se multiplica una función por sí misma], peor será la retroalimentación de la resonancia).
La ecuación (3disp) se denomina ecuación de dispersión . La idea principal es que debido a la derivada cúbica en el espacio, si realizamos Análisis de Fourier para esta ecuación, vemos que las diferentes componentes de frecuencia viajan y a diferentes velocidades. Físicamente esto significa que si se comienza con un paquete de ondas como dato inicial, el paquete se extenderá en extensión física decaerá en amplitud. Esto garantiza esencialmente que todos los datos iniciales razonables (a los que se les puede permitir ser grandes) acabarán estableciéndose en una constante.
La ecuación (Bgr) es la Ecuación de Burgers una especie de ecuación de onda no lineal prototípica. Al ser una ecuación de primer orden, se puede resolver utilizando la método de las características y cualitativamente vemos que la ecuación describe una onda viajera, cuya velocidad de desplazamiento es proporcional a su amplitud. Ahora bien, esto plantea un problema. Si tenemos los datos iniciales de tal manera que una porción de la onda de gran amplitud está detrás de una porción de la onda de baja amplitud, eventualmente la porción de gran amplitud correrá justo contra la porción de baja amplitud (ya que se está moviendo más rápido y la alcanza). Cuando esto ocurre, en ese punto del espacio, tenemos una discontinuidad de la onda (una caída repentina de la amplitud desde una amplitud muy alta hasta una amplitud muy baja). Esto señala la formación de ondas de choque. También se puede ver esto explícitamente diferenciando la ecuación en el espacio: dejemos que $v = \partial_x u$ vemos que $v$ resuelve la ecuación
$$ \partial_t v + u \partial_x v + v^2 = 0$$
Así, utilizando el método de las características, vemos que a lo largo de las curvas integrales del campo vectorial $\partial_t + u\partial_x$ , $v$ resuelve la ecuación $\partial_s v = - v^2$ que se puede integrar para demostrar que si $v$ es inicialmente negativo en cualquier punto del espacio (si la pendiente de $u$ es negativo, lo que significa mayor amplitud detrás de menor amplitud), la solución debe estallar en un tiempo finito.
Así que si sólo se sigue la "genealogía" y se combinan las ideas de las dos simplificaciones en la ecuación final (KdV), se puede tener la tentación de decir que quizás habrá regímenes en los que domine el comportamiento de cada una de las simplificaciones. ¡Resulta que el tira y afloja entre el estallido de (Bgr) y la dispersión de (3disp) da lugar a una dinámica de tiempo largo completamente diferente! Es decir: si se comienza con datos iniciales arbitrarios y razonables, la solución acaba dividiéndose en un número finito de paquetes de ondas coherentes que viajan a lo largo de la línea real . En particular, cada uno de esos paquetes de ondas coherentes no se dispersa (por sí mismo), sino que, como conjunto, algunos paquetes de ondas se moverían más rápido que otros, por lo que, en conjunto, la solución se dispersa.
Esto no quiere decir, por supuesto, que no haya estable características. La característica física de ser una ecuación elíptica de segundo orden es bastante estable a las perturbaciones de orden inferior, y a diversas no linealidades. Y he aquí que se han escrito volúmenes y volúmenes sobre este tipo de ecuaciones. Y es de suponer que existen manuales, como el que menciona Hans Lundmark en su comentario, que describen gran parte de las ecuaciones diferenciales "conocidas" y los métodos utilizados para resolverlas. Sólo espero que lo anterior sirva de advertencia contra el tratamiento de ecuaciones aún no estudiadas por pura analogía con cosas que ya conocemos.
