¿Por qué no añadir algo a ambos lados de una supuesta identidad para probarla?

Question

Una sección de mi libro de precálculo está dedicada a establecer (=probar) identidades trigonométricas, y un problema típico del libro presenta una supuesta identidad y pide a los estudiantes que la establezcan. El libro recomienda este método para hacerlo: Considerar el lado más complicado de la supuesta identidad. Utiliza las reglas del álgebra y las identidades trigonométricas conocidas para manipular ese lado hasta que coincida con el otro. (A veces tendrás que manipular ambos lados hasta que coincidan).

El libro tiene entonces esta advertencia:

Tenga cuidado de no manejar las identidades que se van a establecer como si fueran ecuaciones. No se puede establecer una identidad por métodos como añadir la misma expresión a cada lado y obtener un enunciado verdadero. Esta práctica no está permitida, porque el enunciado original es precisamente el que se intenta establecer. No se sabe hasta que se ha establecido que es, de hecho, verdadera.

¿Eh? Es decir, entiendo que hay que tener cuidado. Entiendo que no puedes manipular tu supuesta identidad así: $$\{\textrm{purported identity}\}\Rightarrow\{\textrm{something else}\}$$ Entiendo que toda implicación debe ser en cambio así: $$\{\textrm{purported identity}\}\Leftarrow\{\textrm{something else}\}$$ Y por lo tanto, por ejemplo, no se puede elevar ambos lados de la supuesta identidad a una potencia par, o multiplicar ambos lados por $0$ . Bien. Pero qué hay de malo en "añadir la misma expresión a cada lado y obtener una afirmación verdadera" ??

Answer 1

El autor trata de evitar el siguiente error, típico de los estudiantes que empiezan con las pruebas:

Prueba de que $-2 = 2$ :

Tenemos

$(-2)^2 = 2^2$

$4 = 4 \boxtimes$

Sin embargo, como has observado, a veces podemos razonar desde ambos lados de una supuesta igualdad, siempre que argumentemos cuidadosamente que cada uno de nuestros pasos es "reversible".

Por ejemplo

Demostrar que $$ \cos^2(2x) + \sin^2(2x) + \tan(3x) = \tan(3x) + 1. $$ Observamos que la ecuación se cumple si y sólo si la ecuación análoga se cumple con $\tan(3x)$ restado de ambos lados, pero entonces esto es obvio a partir de las identidades trigonométricas estándar. Es una prueba perfectamente válida y completa.

Por eso, la insistencia del libro en que nunca hagas esto es demasiado estricta, y a menudo servirá para obstaculizar la creatividad. Creo que es un caso en el que los instructores de escritura de pruebas principiantes pueden perjudicar la buena práctica matemática con el fin de evitar un error de los estudiantes. Creo que es mejor jugar al "tocapelotas" con los razonamientos deficientes cuando surgen que insistir ampliamente en que se escriba de una determinada manera. Pero otros profesores no están de acuerdo.

Answer 2

Cuando intentas demostrar algo, tienes que empezar con lo que tienen y llegar a lo que quiere .

Como en cualquier otro aspecto de la vida.