Realmente atascado en la estrategia para este teorema fundamental del problema del tipo de álgebra.

Question

No sé cómo abordar este problema. No tiene sentido para mí resolver sin encontrar las raíces. No pude encontrar las raíces sin una calculadora de todos modos, pero no estás destinado a hacerlo.

Demuestre que si las raíces de la ecuación:

$5x^3-x^2-2x+3=0$

son a, b y c luego:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2/3$

$a^2+b^2+c^2=\frac{21}{25}$

$a^3+b^3+c^3=-\frac{194}{125}$

Answer 1

Esto no significa de ninguna manera "precálculo", y sin calculadora le ayudará a ver que. También, su $y = 0$ es absurdo, excepto si usted desea plantear el problema como "$a, b, c$ son raíces a $y(x) = 0$ donde $y(t) = 5t^3 ...$"

Una aplicación sencilla de Viete relaciones y de Newton fórmulas resuelve la mayoría de estos problemas. Por ejemplo,

$$\sum \frac{1}{a} = \frac{ab + bc + ca}{abc} = \frac{-2/5}{-3/5} = \frac{2}{3}$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2\sum ab = \frac{1}{25} - \frac{2(-2)}{5} = \frac{21}{25}.$$

Para el tercero, tratar de sumar como $y(a) + y(b) + y(c) = 0$ y concluir algo sobre el lado izquierdo.

Edit: por supuesto, estamos hablando sobre el teorema Fundamental de los Polinomios Simétricos, afirmando que expresiones tales como la suya (es decir, simétrica) puede ser escrita en términos de la primaria simétrica polinomios que aparecen en Viete relaciones.

Answer 2

La sugerencia de referencia para el Teorema Fundamental del Álgebra era llegar a darse cuenta de que un polinomio cúbico tendrá tres raíces complejas. En otras palabras, se puede escribir el polinomio como $$ y=x^3-\frac{1}{5}x^2-\frac{2}{5}x+\frac{3}{5} $$ y como $$ y=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc $$ así la equiparación de términos con exponentes tenemos

$a+b+c=\frac{1}{5}$

$ab+ac+bc=-\frac{2}{5}$

$abc=-\frac{3}{5}$

Ahora podemos resolver tus problemas.

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(1) Usando los valores tenemos encima $$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{ab+ac+bc}{abc} = \frac{-2/5}{-3/5}=\frac{2}{3} $$

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(2) De $$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) $$ tenemos $$ \left(\frac{1}{5}\right)^2 = (a^2+b^2+c^2)+2\left(-\frac{2}{5}\right) $$ por lo $a^2+b^2+c^2=21/125.$

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(3) Que va a ser más fácil de usar un resultado preliminar para esta parte. De $$ (a+b+c)(ab+ac+bc) = (a^2b+ab^2+a^2c+ca^2+b^2c+bc^2) + 3abc $$ no es difícil mostrar que $$ a^2b+ab^2+a^2c+ca^2+b^2c+bc^2=\frac{43}{25} $$ Así que a partir de $$ (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3)+(a^2b+ab^2+a^2c+ca^2+b^2c+bc^2)+2(a+b+c)(ab+ac+bc) $$ podemos concluir $$ a^3+b^3+c^3 = -\frac{194}{125} $$

Answer 3

Si usted aún no han sido expuestos a la teoría general, no hay nada que te detenga de trabajo a partir de primeros principios:

Dado

$$ 5x^3−x^2−2x+3=0 $$

tenemos

$$ x^3−(1/5)x^2−(2/5)x+3/5=0 $$

Ahora si $a$, $b$, $c$ son las raíces, entonces

$$ (x-a)(x-b)(x-c) = 0 $$

es decir,

$$ x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc = 0 $$

así que sabemos

$$ \begin{align*} a+b+c &= 1/5\\ ab+bc+ca &= -2/5\\ abc &= -3/5 \end{align*} $$

los cuales son suficientes para establecer las cosas que a usted se le pide a establecer, con algún tipo de manipulación. Por ejemplo,

$$ \begin{align*} 1/a + 1/b + 1/c &= bc/abc + ca / abc + ab / abc\\ &= (ab+bc+bc) / abc \end{align*} $$

y

$$ a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) $$

La suma de los cubos se deja como ejercicio.