Ejemplos de cuando $0\cdot x\neq 0$ o $x+0\neq x$.

Question

Estoy tratando de demostrar que los axiomas de la aritmética son independientes mediante la construcción de un modelo en el que todos los de la barra de uno de los axiomas se cumplen, para cada uno de los axiomas más abajo.

Un primer orden de la teoría con la aritmética tiene la igualdad, uno de los constantes ($\mathbf{0}$), una única función ('sucesor') y dos funciones binarias ($+,\cdot$).

1. $(\forall x)( x^+\neq0)$
2. $(\forall x)(\forall y)(x^+=y^+\implies x=y)$
3. $(\forall x)(x+0=x)$
4. $(\forall x)(\forall y)(x+y^+=(x+y)^+)$
5. $(\forall x)(x\cdot 0=0)$
6. $(\forall x)(\forall y)(x\cdot (y^+)=(x\cdot y)+x)$
7. Inducción

Agradecería algo de ayuda para construir modelos en los que el 3º y 5º son los axiomas falsos en particular.

Answer 1

Considerar ${0,1,\ldots}$ con la $+$, ${}^+$% y $0$, sino una multiplicación diferentes: $a \cdot b = 1 + ab$ (donde $ab$ es el producto habitual). Esto satisface todos pero (5).

Answer 2

Casi 3: $\mathbb N0$, definir $x+ y=(x+{\text{standard}}y)^+$. Utilizar 5 y 6 definen multiplicación recursiva. En realidad, uno comprueba que esto resulta en $x\cdot y=x^+\cdot_{\text{standard}}y$

Answer 3

De la misma manera de la respuesta de Robert, redefinir $a+b=a^+ + b$. Esto debe violar el tercer axioma.