¿Cuándo utilizar el símbolo del módulo y cuándo no utilizar el símbolo del módulo en la integración y la diferenciación?

Question

Estoy enfrentando esta duda conceptual desde hace bastante tiempo.

Sabemos que $$ \frac {d}{dx}{( \sec ^{-1}{x})}= \frac {1}{|x| \sqrt {x^2-1}}$$ mientras que $$ \frac {d}{dx}{( \csc ^{-1}{x})}= \frac {-1}{|x| \sqrt {x^2-1}}$$

Ahora supongamos que necesito encontrar la integral $$ \int\frac {1}{x \sqrt {x^2-1}}dx$$ entonces la respuesta será $ \sec ^{-1}{x}$ o $ \csc ^{-1}{x}$ en caso de que la función de módulo no se utilice para $x$ en el denominador? ¿Por qué?

Otra duda similar que tengo es que $$ \int { \frac {1}{x^2-a^2}} \, dx$$ es igual a $$ \frac {1}{2a} \ln\left ( \frac {x-a}{x+a} \right )+C$$ o $$ \frac {1}{2a} \ln\left | \frac {x-a}{x+a} \right |+C \text {?}$$

Algunos libros usan la primera fórmula y otros la segunda. ¿Cuál es la correcta y por qué?

Disculpe si esta pregunta le parece demasiado trivial. ¡Pero realmente estoy confundido con esto de los últimos meses!

Answer 1

Las funciones $sec^{-1}$ y $-cosec^{-1}$ sólo difieren por una constante en los puntos donde ambos están definidos. Lo mismo ocurre con $sin^{-1}$ y $-cos^{-1}$ . Así que, cuando ambos están definidos, puedes elegir uno u otro como quieras, siempre que añadas una constante aditiva.

Esto sucede debido a la fórmula $ \cos (x) = \sin ( \pi /2-x)$ que dice que $ \sin (x)$ y $ \cos (-x)$ se obtienen una de otra con una traslación horizontal, por lo que sus funciones inversas corresponden una a otra con una traslación vertical.

Para ser más precisos, (y para discutir el caso de $ \log x$ contra $ \log |x|$ ) si el dominio de la función integradora no es un intervalo, no basta con añadir una constante. Es necesario añadir una combinación de diferentes constantes en cada uno de los diferentes componentes conectados de su dominio.

Ejemplo. Muchos libros dicen que $$ \int \frac {1}{x}\, dx = \log |x| + C. $$ Esto no es completamente cierto. Todos los antiderivados de $1/x$ están dadas por una familia de funciones con dos parámetros, no uno: $$ F(X) = \begin {cases} \log x + C_1 & \text {if $ x>0 $,} \\ \log (-x) + C_2 & \text {if $ x < 0 $.} \end {cases} $$

Es cierto que en la mayoría de las aplicaciones sólo es necesario encontrar un antiderivado en un intervalo fijo (por ejemplo, si se están resolviendo ecuaciones diferenciales). Por lo tanto, dado el intervalo, puede haber una elección preferida para la solución. Si estás integrando $1/x$ para $x<0$ la solución puede ser escrita como $log(-x)+C$ . Si usted está integrando $ \frac {1}{x \sqrt {x^2-1}}$ en $(-1,0)$ la solución puede escribirse como $cosec^{-1}(x) + C$ .

Answer 2

Encontremos $$ \int\dfrac {du}{u+a}$$

Caso $\#1:$ Si $u+a>0,$ deja $u+a=v \implies du=dv$

Por consiguiente, $$ \int\dfrac {du}{u+a}= \log (u+a)+K$$

Caso $\#2:$ Si $u+a<0,$ deja $u+a=-v \implies du=-dv$

Por consiguiente, $$ \int\dfrac {du}{u+a}= \log (-u-a)+L$$

Caso $\#3:$ ¿Y si $u+a=0?$

$$ \implies\int\dfrac {du}{u+a}= \log |u+a|+M \text { for }u+a \ne0 $$

Ahora para $ \displaystyle I= \int\dfrac {dx}{x \sqrt {x^2-1}}$

usando Sustituciones trigonométricas que $x= \sec y, dx= \sec y \tan y\ dy$

Usando este , $0 \le y \le\pi , y \ne\dfrac\pi2 $

Caso $\#1:$ Si $0 \le y< \dfrac\pi2 , \sqrt {x^2-1}=+ \tan y$ como $ \tan y \ge0 $

$ \displaystyle I= \sec ^{-1}x+A$

Caso $\#2:$ Si $ \dfrac\pi2 <y \le\pi , \sqrt {x^2-1}=- \tan y$

$ \displaystyle I=- \sec ^{-1}x+B= \sec ^{-1}(-x)+B- \pi $ usando ¿Cómo puedo probar que $ \arccos (x) + \arccos (-x)= \pi $ cuando $x \in [-1,1]$ ?

Reemplazar $B- \pi $ con $B'$

Todas las letras utilizadas en mayúsculas deben considerarse implícitamente como constantes arbitrarias.

Answer 3

Las expresiones del módulo están absolutamente bien.

Así que si diferencian $ \csc ^{-1}x$ w.r.t. $x$ donde $|x|>1$ de la definición, se obtiene después de la simplificación,

$ \large\frac {d}{dx}( \csc ^{-1}x)=- \frac {1}{ \csc y. \cot y}$ (donde $y= \csc ^{-1}x$ )

$= \large - \frac {1}{ \pm \csc y \sqrt { \csc ^2y-1}}=- \frac {1}{|x| \sqrt {x^2-1}}$ ; $ \quad (|x|>1)$

$[ \because $ para $- \frac { \pi }{2}<y< \frac { \pi }{2}$ , $ \csc y \cot y>0 ]$

De manera similar si $z= \sec ^{-1}x$ ,

entonces $ \large\frac {d}{dx}( \sec ^{-1}x)= \frac {1}{ \sec z \tan z}$

$ \large = \frac {1}{ \pm \left [ \sec z \sqrt { \sec ^2z-1} \right ]}= \frac {1}{|x| \sqrt {x^2-1}}$ ; $ \quad (|x|>1)$

$[ \because $ para $0<z< \pi \quad (z \neq \frac { \pi }{2}), \sec z \tan z>0]$

Por lo tanto, $ \displaystyle\int \frac {dx}{x \sqrt {x^2-1}}= \sec ^{-1}|x|+c$ $ \quad $ o $ \quad $ $- \csc ^{-1}|x|+c;$ $($ tanto para $|x|>1)$ .

Obsérvese que cuando se consideran las diferenciaciones de las funciones trigonométricas inversas, sólo se tienen en cuenta los valores principales de las funciones y los respectivos rangos contra cada una de las fórmulas deben ser atendidos. Por ejemplo, vemos que la fórmula $ \frac {d}{dx}( \sin ^{-1}x)= \frac {1}{ \sqrt {1-x^2}}$ no sigue siendo válido para $ \frac { \pi }{2}< \sin ^{-1}x< \frac {3 \pi }{2}$ .

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En cuanto a su última integral, tiene sentido incluir el signo del módulo si acepta el hecho de que $ \displaystyle\int \frac {dx}{x}= \ln {|x|}+c; \quad (x \neq 0)$ que es lo correcto después de combinar los dos casos de $x>0$ y $x<0$ .

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Así que, para completar, usted debería utilizar el símbolo del módulo en estos casos.