Si $\mathrm{tr}(A)=0$ entonces tenemos $A=BC-CB?$

Question

Para cualquier matriz $A_{n\times n}$ con $\mathrm{tr}(A)=0$ demuestre que existen dos matrices $B$ y $C$ tal que $$A=BC-CB.$$

Sé que para probar esto: si $A=BC-CB$ entonces tenemos $\mathrm{tr}(A)=0$ porque $$\mathrm{tr}(BC)=\mathrm{tr}(CB)$$ así que $$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(BC-CB)=\mathrm{tr}(BC)-\mathrm{tr}(CB)=0.$$ Pero mi problema es que no puedo probarlo.

Answer 1

He demostrado, en un respuesta a una pregunta relacionada que sobre un campo $\mathbb F=\mathbb R$ o $\mathbb C$ toda matriz sin trazas es un conmutador (es decir. $\operatorname{trace}(C)=0\Rightarrow C=AB-BA$ para algunas matrices cuadradas $A$ y $B$ en $\mathbb F$ ). Para un campo de tierra general, también se da una referencia en la respuesta.