Paradoja de dos sobres, en cambio con cantidades distribuidos uniformemente.

Question

Hay dos sobres, cada uno de los cuales tiene un cheque por un Unif(0, 1) cantidad de dinero, medido en miles de dólares. Las cantidades en los dos sobres independientes. Llegar a elegir un sobre y lo abre, y entonces usted puede mantener esa cantidad o cambiar a la otros sobres y obtener lo que la cantidad está en el sobre. Supongamos que usted utilice el siguiente estrategia: elegir un sobre y lo abre. Si usted observa U, entonces que con el palo de sobres con probabilidad de U, y cambiar a la otra sobre con probabilidad 1 − U.

(a) Hallar la probabilidad de que obtenga la mayor de las dos cantidades.

(b) Encuentre el valor esperado de lo que usted recibirá.

Answer 1

Ya que las cantidades en los sobres son independientes, el monto $U_2$ en la segunda envoltura tiene distribución uniforme(0,1). Esto es menos de $u \in [0,1]$$u$, y menos con una probabilidad de $1-u$. Dado que la cantidad en el primer sobre se $u_1$, obtendrá la mayor cantidad si

1. cambiar (lo cual ocurre con probabilidad de $1 - u_1$) y $U_2 > u_1$, o
2. no cambia (lo cual ocurre con probabilidad de $u_1$) y $U_2 < u_1$.

Por lo tanto la probabilidad condicional de que usted obtenga la mayor cantidad, dado $U_1 = u_1$, es $$ P(L | U_1 = u_1) = (1-u_1)^2 + u_1^2 = 1 - 2 u_1 + 2 u_1^2$$ y la probabilidad incondicional es $$ P(L) = \mathbb E[P(L | U_1)] = 1 - 2 \mathbb E[U_1] + 2 \mathbb E[U_1^2] = 2/3$$

Del mismo modo, la esperanza condicional de la cantidad de $Y$ recibe, dado $U_1 = u_1$, es $$ \mathbb E[V |U_1 = u_1] = (1-u_1)(1/2) + u_1 (u_1) = 1/2 - u_1/2 + u_1^2$$ y $$\mathbb E[V] = \mathbb E[\mathbb E[V|U_1]] = 1/2 - \mathbb E[U_1]/2 + \mathbb E[U_1^2] = 7/12 $$

Answer 2

Deje $U$ denotar la cantidad de dinero en el primer lugar elegido envolver que se abre y $V$ la cantidad de dinero en la no-elección de la envuelven. A continuación, $1_{\left(0,1\right)^{2}}(u,v)$ es el PDF de $\left(U,V\right)$.

(un)

Si $E$ denota el evento de que la mayor cantidad de dinero que eventualmente ser recibida a continuación:

$P\left(E\mid U=u,V=v\right)$ toma el valor de $u$ si $u>v$, y toma el valor de $1-u$ lo contrario. Así:

$$P\left(E\right)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}P\left(E\mid U=u,V=v\right)dvdu=\int_{0}^{1}\int_{0}^{u}udvdu+\int_{0}^{1}\int_{u}^{1}\left(1-u\right)dvdu$$$$=\int_{0}^{1}u^{2}du+\int_{0}^{1}\left(1-u\right)^{2}du=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

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(b)

Si $R\left(U,V\right)$ indica lo que se recibe, a continuación, $R\left(U,V\right)=U.U+\left(1-U\right).V=U^{2}+V-UV$

Así:

$$\mathbb{E}R\left(U,V\right)=\mathbb{E}\left(U^{2}+V-UV\right)=\mathbb{E}U^{2}+\mathbb{E}V-\mathbb{E}U\mathbb{E}V=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{2}=\frac{7}{12}$$