Superficie $S$ es parametrizadas por $$X(u,v) = (\varphi(v) \cos{(u)}, \varphi(v) \sin{(u)}, \psi{(v}))$$ with everywhere-constant Gaussian curvature $K$. Let $v$ be the arc length of the generating curve $(\varphi(v), \psi(v))$ of $S$; thus, $(\varphi')^{2} + (\psi')^{2} = 1$; fix $un \in \mathbb{R}$.
Demostrar que $\varphi$ satisface $$K \varphi + \varphi'' = 0$$
Demostrar que $\psi = \int (\sqrt{a-(\varphi')^{2}}) dv$, donde el dominio de $v$ es tal que esta integral tiene sentido. $u \in (0, 2 \pi)$ ; ¿por qué?
Fijemos un avión con origen $O$ y las direcciones $x$, $y$; denotar este avión $\langle x,y \rangle$ nombre $xOY$. Fix $K=1$ y deje $S$ se cruzan $xOy$ perpendicularmente. Demostrar que, para algunos $C = \varphi(0) \in \mathbb{R}$, $\varphi(v) = C cos{(v)}, \psi(v) = \int_{0}^{v} (\sqrt{1-C^{2} sin{(v)}^{2}}) dv$.
Mostrar que todas las superficies $S$ de la revolución de los fijos en todas partes-constante de la curvatura Gaussiana $K=-1$ y parametrizadas por una función de $X$ $u$ $v$ (en ese orden), en $v$ es la longitud de arco de la generación de la curva de $S$ a partir de un punto fijo, se describe por la siguiente (hasta Euclidiana de movimiento):
(a:) $$\varphi(v) = C \cosh{(v)}, \psi(v) = \int_{0}^{v} (\sqrt{1-(C \sinh{(v)})^{2}}) dv$$
(b:) $$\varphi(v) = C \sinh{(v)}, \psi(v) = \int_{0}^{v} (\sqrt{1-(C \cosh{(v)})^{2}}) dv$$
(c:) $$\varphi(v) = \mathbb{e}^{v}, \psi(v) = \int_{0}^{v} (\sqrt{1-\mathbb{e}^{2v}}) dv$$
Estoy pensando en ecuaciones diferenciales, pero no estoy seguro de cómo configurarlos.
