Mostrar que un conjunto en un espacio métrico es denso, si y solo si, el espacio métrico es la unión de bolas abiertas.

Question

Demuestra que si $(X, d)$ es un espacio métrico, $S \subseteq X$ es denso si y solo si, $\space \forall r > 0$, $X = \bigcup_{x\in S}B(x; r)$.

Este problema me ha estado confundiendo, ya que he intentado justificar que, comenzando por la izquierda, como $\bar S = X$ podría demostrar que $\bar S = \bigcup_{x\in S}B(x; r)$ y concluir que $X = \bigcup_{x\in S}B(x; r).

No sé qué hacer ya que principalmente estoy confundido por cómo la clausura de un conjunto podría ser la unión de todas las bolas abiertas en X, especialmente cuando la unión de todas las bolas abiertas sería abierta.

He incluido algunas definiciones para mostrar el marco en el que estoy trabajando. ¡Cualquier contribución sería muy apreciada!

Definiciones:

Dado un espacio métrico $(X, d):

• Un conjunto $S \subseteq X$ es denso si $\bar S = X$.
• Dado un conjunto $S \subseteq X$, la clausura de $S$ es $\bar S = \{\space x\in X \space | \space \forall r>0, B(x;r)\cap S\neq \emptyset \}$.
• La bola abierta se define como $B(x;r)= \{a\in X \space | \space d(x,a)

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Answer 1

Basta mostrar que $X\subset \bigcup_{s\in S}B(s; r)$ (la otra inclusión es trivial).

Sea $x\in X$ entonces, dado que $S$ es denso en $X$, es decir $\bar S = X$, se sigue que para cualquier $r>0$, $B(x;r)\cap S\neq \emptyset$. Sea $y$ un elemento del conjunto no vacío $B(x;r)\cap S$ entonces $d(y,x)

Answer 2

Claramente, $$\bigcup B(r, x) \subset X.$$ Ahora tenemos que demostrar que $$X\subset \bigcup B(r, x).$$ Supongamos que $x\in X$. Para demostrar que x pertenece a la unión, tenemos que probar que existe $B(r, y)$ tal que $x \in B(r, y).