Transformada inversa de Laplace de una función complicada

Question

Quiero hacer la transformada inversa de Laplace de la siguiente función:

$$F(s) = \frac{1}{s \cdot (1 + a \cdot s)^{m} \cdot (1 + b \cdot s)^{m-k}} \cdot \Bigl[\exp{(\frac{- c \cdot s}{ 1 + b \cdot s } )}\Bigr]^{m-k}$$

donde $a,b,c,m,k$ son todos constantes positivas. $m$ $k$ son enteros con $m\ge k$.

Es posible obtener una solución aproximada mediante la sumación de Euler-basado en la técnica. Pero quiero tener una solución exacta para la inversa de la transformación.

Algunas preguntas similares pero de una manera mucho menos sencillo formulario, se encuentran también en Stackexchane, es decir, la transformada Inversa de Laplace de e$^{-c \sqrt{s}}/(\sqrt{s}(a - s))$ o encontrar la transformada inversa de Laplace de la función compleja . Especialmente me estoy preguntando cómo lidiar con el punto de $s = \frac{1}{b}$ ya que es un polo de orden $(m-k)$, pero también aparece en la función exponencial, y además no estoy seguro sobre el contorno integral, teniendo en cuenta que $s$ existe tanto en el numerador y el denominador del argumento de la función exponencial.

Muchas gracias.

Answer 1

Puede ser más fácil de resolver por enfoque de serie:

Insinuación:

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{\left(e^\frac{-cs}{1+bs}\right)^{m-k}}{s(1+as)^m(1+bs)^{m-k}}\right\}$

$=\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{e^\frac{c(k-m)s}{1+bs}}{s(1+as)^m(1+bs)^{m-k}}\right\}$

$=\mathcal{L}^{-1}\left\{\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{c^n(k-m)^ns^{n-1}}{n!(1+as)^m(1+bs)^{m+n-k}}\right\}$