el campo $\mathbb{Z}_3[i]$ es anillo isomorfo al campo $\mathbb{Z}_3[x]/(x^2 + 1)$

Question

Que $\mathbb{Z}_3[i] =${$a+bi | a, b \in \mathbb{Z}_3$}. Muestran que el campo $\mathbb{Z}_3[i]$ anillo isomorfo al campo $\mathbb{Z}_3[x]/(x^2 + 1)$

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¿Cómo puedo hacer esto? alguien puede ayudar?

Answer 1

Considerar el anillo homomorphism

$\mathbb Z_3[x]\rightarrow \mathbb Z_3[i]$ envío de $x$$i$. Esta existe por la característica universal del polinomio anillos. Está claro que no constante o lineal polinomial es en el núcleo, sino $x^2+1$ es. Desde $\mathbb Z_3$ es un campo, podemos utilizar el algoritmo de la división para polinomios a ver que cualquier elemento del núcleo debe ser un múltiplo de $x^2+1$. Por el contrario, todos los múltiplos de trabajo. (Esto es sólo reiterando la prueba del teorema que un polinomio anillo sobre un campo es un PID. Usted sólo puede citar que el teorema si lo desea.) De modo que el núcleo es el ideal generado por a $x^2+1$, y el Primer Teorema de Isomorfismo de anillos da

$$\frac{\mathbb Z_3[x]}{(x^2+1)} \cong \mathbb Z_3[i].$$

Si necesita más detalles o explicación, sólo pregunte. Como @Omnivium notas en los comentarios, esta es una forma muy común de mostrar dos anillos son isomorfos.