¿Se permite la fórmula de longitud infinita en ZFC?

Question

Tengo curiosidad de saber si de longitud infinita fórmulas están permitidos en ZFC. Si no lo es, entonces ¿cómo se expresa el caso de que un número infinito de términos (ordinario matemáticas) en el que se manejan? (Como demostrar que el límite de la suma de los números en una secuencia particular, es un número y así sucesivamente) (Bueno, uno podría decir que para el límite, que puede ser hecho mediante la especificación de una fórmula para la secuencia, pero hay casos en que este podría no ser el caso.)

Otra forma de ver este problema: ¿puede una función o predicado se define con infinito número de variables (tanto libres y ligados)?

Por ejemplo, dado un conjunto de secuencias de cardinalidad infinita (por lo que el número de secuencias en el conjunto es infinito), una función que se lleva a cabo el enésimo número de cada secuencia para formar un conjunto (por lo que esta función podría tomar un conjunto y mapa de conjunto) sería una función válida en zfc?

Answer 1

Voy a suponer que te refieres a "la fórmula" en el significado lógico de la palabra. Las fórmulas no viven "dentro de $\sf ZFC$", sino más bien en la lógica de fuera de ella, que es la lógica de primer orden y por lo tanto no permite infinitary fórmulas.

Sin embargo, internamente a $\sf ZFC$ podemos definir la lógica de primer orden, y podemos definir más fuerte lógicas, tales como infinitary lógicas $\mathcal L_{\kappa,\lambda}$ que permiten la conjunción y la disyunción de $<\kappa$ fórmulas, y $<\lambda$ cuantificadores.

Pero realmente no necesitamos, que para solo cosas simples, que podría haber tenido en mente, podemos hablar de funciones cuyo dominio es una función de un conjunto infinito en el dominio. Por ejemplo, un $\omega$-tupla es sólo una función de $\omega$ a $X$. Así, una función de toma de $\omega$ variables es realmente una función que recibe como entrada una función de $\omega$ a $X$.

Esto puede ser extendido en varias maneras diferentes, pero como con todo lo demás en matemáticas, una vez que se permite infinito de objetos en el sistema, puede agregar las dificultades y en algunos casos requieren más atención y cuidado de las consideraciones.

Answer 2

En ZFC, las secuencias están representadas por funciones de más de $\mathbb{N}$. Y funciones, a su vez, están representados por conjuntos de pares de asignación de un elemento de dominio a un elemento del codominio. Por lo tanto, una secuencia en ZFC corresponde a un conjunto $\{(0,a_0),(1,a_1),\ldots\}$, donde los pares de $(a,b)$ soporte para el conjunto de $\{a,\{a,b\}\}$. Un conjunto puede por lo tanto representan una secuencia entera, tan infinito fórmulas no son necesarios para hablar acerca de los conjuntos infinitos.

Los axiomas de ZFC son generalmente formalizado en el primer orden de la lī ogica, que no permiten infinito de fórmulas. En principio, puede tomar los axiomas de ZFC, y el uso de algún tipo de infinitary lógica. Pero para estos lógica, la compacidad y la integridad teoremas de fallar, de manera que tendría que pisar con mucho cuidado. Estos teoremas garantía de que las condenas son semánticamente verdadera (es decir, verdadera en todos los modelos) exactamente si son demostrables, y que las teorías son semánticamente coherente (es decir, un modelo) exactamente si demostrar ninguna contradicción. Estas no son las propiedades que uno daría a la ligera.