Cómo saber si vale la pena leer esto: Considerar dos hechos bien conocidos sobre medibles funciones: (i) el supremum de una secuencia de funciones medibles es medible, (ii) si $f$ es medible y $F$ es Borel, a continuación, $F\circ f$ es medible. Me parece interesante que (i) es en realidad un caso especial de (ii). Si usted no encuentra que interesante que usted no necesita leer esto.
La enseñanza de reales. Yo digo a los chicos que la cuantificación es la última cosa que debería preocuparnos, porque a pesar de que puede o puede no ser fácil de demostrar, que nunca va mal en la "vida real". Luego me doy una versión más precisa, que todavía es demasiado difusa para ser susceptibles de prueba: Si usted comienza con countably muchas funciones medibles y derivar una función de los mismos en cualquier forma razonable el resultado será medible. (Comentar que el curso de la countability es importante - mensurabilidad puede ir mal en, digamos, la probabilidad, donde tenemos una innumerable familia de variables aleatorias para empezar...)
Me di cuenta de algo que me preguntaba si tal vez no es propiamente un teorema que incluye los casos que en realidad llegar.
Recordar que si $X$ es un espacio medible y $Y$ es un espacio topológico, a continuación, $f:X\to Y$ es medible si la imagen inversa de cada conjunto abierto (equivalentemente, cada conjunto de Borel) es medible. De ahí, por ejemplo, si $X$ es un espacio medible, $Y$ $Z$ son espacios topológicos, $f:X\to Y$ es medible y $F:Y\to Z$ es Borel, a continuación, $F\circ f$ es medible.
Pregunta: ¿Podría ser que en el contexto del último párrafo, si $F\circ f$ es medible para cada medibles $f:\Bbb R\to Y$ $F$ debe ser Borel?
En cualquier caso, es claro que por ejemplo si $f,g:X\to\Bbb R$ son medibles y $F:\Bbb R^2\to\Bbb R$ es Borel, a continuación, $F(f,g)$ es medible.
Lo que me di cuenta de que me hace pensar que tal vez no es muy resultado general acerca de una función de countably muchos medibles funciones medibles es este: decir $f_n:X\to\Bbb R$$n=1,2\dots$. Definir $f:X\to\Bbb R^{\Bbb N}$$f(x)=(f_1(x),f_2(x),\dots)$. Dar $\Bbb R^{\Bbb N}$ el producto de la topología. A continuación, $f_n$ es medible para cada $n$ si y sólo si $f$ es medible.
En particular, si $ (f_n)$ es una secuencia de funciones medibles y $F:\Bbb R^{\Bbb N}\to\Bbb R$ (o $[-\infty,\infty]$, lo que sea) es Borel, a continuación, $F(f_1,f_2,\dots)$ es medible. Y esto no incluye una gran cantidad de casos especiales.
Por ejemplo, la función de $s:\Bbb R^{\Bbb N}\to(-\infty,\infty]$ definido por $s(x)=\sup_n x_n$ es Borel, siendo el límite de $s_n$ donde $s_n(x)=\max(x_1,\dots,x_n)$. Por lo tanto (i) anterior es un caso especial de (ii).
Por lo tanto igualmente para$\liminf$$\limsup$. Y, por tanto, del mismo modo para $f(x)=\lim f_n(x)$ si el límite existe, $0$ lo contrario (debido a que la función característica de la diagonal en $\Bbb R^2$ es Borel).
Planteando la cuestión de si cada uno de los ejemplos donde $F(f_1,f_2,\dots)$ deben ser medibles surge a partir de un Borel functionn $F$.
