Integración mediante suma

Question

¿Cómo se integra $\sqrt{x}$ a partir de una constante arbitraria $a$ a otro $b$ ¿Por qué?

Answer 1

Dividamos la región $a\le x\le b$ en $n$ subregión como $a,ar,ar^2,\cdots ar^n=n$ tal que $\delta_i=ar^i-ar^{i-1}$

Si es real $m\ne-1,$

$$\int_a^b x^mdx=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{1\le i\le n}(ar^i)^m\delta_m\right)$$

$$=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{1\le i\le n} (ar^i)^m(ar^i-ar^{i-1})\right)$$

$$=a^{m+1}\lim_{r\to1}(r-1)\sum_{1\le i\le n} (r^{i-1})^{m+1}$$

$$=a^{m+1}\lim_{r\to1}(r-1)\sum_{1\le i\le n} (r^{m+1})^{i-1}$$

$$=a^{m+1}\lim_{r\to1}(r-1)\cdot1\cdot\frac{(r^{m+1})^n-1}{r^{m+1}-1}$$

$$=a^{m+1}\lim_{r\to1}\frac{\left(\frac ba\right)^{m+1}-1}{\frac{r^{m+1}-1}{r-1}}$$ como $\frac ba= r^n\implies (r^{m+1})^n=(r^n)^{m+1}=\left(\frac ba\right)^{m+1}$

$$=(b^{m+1}-a^{m+1})\cdot\frac1{\lim_{r\to1}\left(\frac{r^{m+1}-1}{r-1}\right)}$$

$$=(b^{m+1}-a^{m+1})\cdot \frac1{(m+1)\cdot1^m}$$

$$\text{ as }\lim_{x\to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}=nx^{n-1} \text{ using L'Hospital Rule }$$

Answer 2

¿Te refieres a algo así?

$f(x)= \sqrt{x}$ ,

$$\int_a^b \sqrt{x}=\lim_{n\to \infty} \dfrac{b-a}{n} \sum_1^n\sqrt{x_i}$$

Answer 3

Dado que la función $x\mapsto\sqrt{x}$ es no decreciente, toda suma de Riemann asociada a la subdivisión $s=(x_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ está entre $R^+(s)$ y $R^-(s)$ con $$R^-(s)=\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})\sqrt{x_{i-1}},\qquad R^+(s)=\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})\sqrt{x_{i}}.$$ Si la malla de $s$ es $\delta(s)$ , $$R^+(s)-R^-(s)=\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})(\sqrt{x_{i}}-\sqrt{x_{i-1}})\leqslant\delta(s)\sum_{i=1}^n\sqrt{x_{i}}-\sqrt{x_{i-1}}.$$ Así, $R^+(s)-R^-(s)\leqslant\delta(s)(\sqrt{b}-\sqrt{a})\to0$ cuando $\delta(s)\to0$ es decir, la función es integrable de Riemann. Además, para cada $i$ , $$(x_i-x_{i-1})\sqrt{x_{i-1}}\leqslant\tfrac23(x_i\sqrt{x_i}-x_{i-1}\sqrt{x_{i-1}})\leqslant(x_i-x_{i-1})\sqrt{x_{i}},\qquad (\ast)$$ por lo que $$R^-(s)\leqslant\sum_{i=1}^n\tfrac23(x_i\sqrt{x_i}-x_{i-1}\sqrt{x_{i-1}})\leqslant R^+(s),$$ y la suma en el medio es telescópica por lo que todo esto demuestra que $$\int_a^b\sqrt{x}\,\mathrm dx=\tfrac23(b\sqrt{b}-a\sqrt{a}).$$ Finalmente, el resultado depende de las desigualdades algebraicas $(\ast)$ que ahora demostramos.

Dividiendo $(\ast)$ por $\frac13(\sqrt{x_i}-\sqrt{x_{i-1}})\gt0$ y cambiar el nombre $\sqrt{x_{i-1}}=x$ y $\sqrt{x_i}=y$ hay que demostrar que, para todo $0\leqslant x\lt y$ , $$3x(y+x)\leqslant2(y^2+yx+x^2)\leqslant3y(y+x),$$ o, $$-(y-x)(2y+x)\leqslant0\leqslant(y-x)(y+2x).$$ Desde $y-x\gt0$ , $2y+x\gt0$ y $y+2x\gt0$ Esto demuestra que $(\ast)$ .