¿Por qué son las funciones Trigonométricas definidas por la izquierda el camino de un círculo?

Question

Mi entendimiento es que el $\cos$ está definido por el valor de $x$ a medida que traza la gráfica de un círculo hacia la izquierda, comenzando en el punto de $(1, 0)$. Del mismo modo, $\sin$ trazas de la $y$ del valor. Entiendo CÓMO las funciones trigonométricas de trabajo. El problema que se ha de roer en mí durante años es la razón por la que se definen de esa manera. Hay, probablemente, una totalmente explicación razonable, sé que la historia de la Trigonometría se remonta a miles de años, pero no entiendo el razonamiento detrás de la definición de las funciones Trigonométricas con la más arbitraria, menos intuitiva reglas posibles.

Si yo hubiera sido la persona a inventar $\cos$$\sin$, yo habría definido por comenzar en el punto más alto de un círculo y traza de las agujas del reloj. Es que no es el más intuitivo método? Tal vez es sólo una moderna preferencia, pero a mí me parece que los seres humanos nos gusta leer cosas de izquierda a derecha, y, sin embargo, las funciones trigonométricas se definen a partir de un círculo de más a la derecha del punto. Además, $\cos$ $\sin$ inicio en $x = 1$ en un círculo del gráfico. ¿Por qué no empezar a $x = 0$?

Creo que esto es por qué tantas personas no tienen una comprensión intuitiva de $\sin$$\cos$, y eso que muchos estudiantes de secundaria y universidad, por la simple memorización de lo que un puñado de $x$ valores de evaluar a en $\sin$ o $\cos$.

Answer 1

Es porque las agujas del reloj ángulos se toman a ser negativo, mientras que la izquierda ángulos son positivos. Por lo tanto para definir las funciones, en el trabajo con ángulos positivos, de ahí hacia la izquierda.

Usted puede preguntar, ¿por qué la izquierda ángulos positivos y no al revés?

La respuesta se encuentra en nuestra elección del plano complejo.

Nuestra elección, mientras que la definición de plano complejo fue-

1. Elegimos el eje x para ser real y el eje y para ser imaginario
2. Elegimos parte real Positiva en la mitad derecha, la parte imaginaria positiva en la mitad superior

Como resultado, la multiplicación por $e^{i\theta}$ gira el plano complejo por el ángulo de $\theta$ a la izquierda.

Por tanto, para evitar signos negativos en nuestros problemas, podemos decir que la multiplicación por $e^{i\theta}$ rota el plano por el ángulo de $\theta$, no $-\theta$, en otras palabras, debemos adoptar la dirección a la izquierda como positivo.

Answer 2

Yo no tengo ningún conocimiento sobre temas históricos, pero mi entendimiento es: precisamente porque leemos de izquierda a derecha.

Esta es la forma en que el eje de abscisas eje nació, horizontal y de izquierda a derecha. A continuación, el eje de ordenadas tuvo que ser vertical, positivo hacia el cielo.

Como el eje X tiene prioridad sobre Y (nació primero), nada es más natural que el recuento de los ángulos positivos de X positivo a positivo Y.

Answer 3

La razón es probablemente porque en algún momento alguien decidió que tenía sentido para graficar las funciones trigonométricas en sentido antihorario alrededor de una unidad de círculo, a partir de la $x$ eje, y la convención atascado.

La pregunta entonces es ¿por que la convención de sentido. Esto fue probablemente debido a otras convenciones existentes en el momento. Tenemos tantos otros convenios pertinentes en las matemáticas hoy en día que sin mirar directamente a un montón de papeles viejos y libros Creo que sería muy difícil decir exactamente lo que las influencias fueron.

Pero parece muy relevante el hecho de que las funciones trigonométricas son a menudo se define en términos de triángulos, como en esta imagen de https://en.wikipedia.org/wiki/File:TrigonometryTriangle.svg:

El ángulo cuyas funciones queremos definir es el ángulo de $A$, un ángulo agudo de un triángulo rectángulo adyacente a un tramo horizontal, que se dibuja en el "fondo" del triángulo.

Si queremos que las funciones trigonométricas de los ángulos medidos en el origen de una $x,y$ plano de coordenadas, una cosa natural a hacer es poner este triángulo en el avión con el vértice $A$, en el origen. Entonces si se escala el triángulo de forma que la hipotenusa es $1$, por lo que las dos piernas será simplemente el seno y el coseno de $A$, nos encontramos con que las coordenadas de a$B$$(\cos A, \sin A)$; es decir, $B$ se encuentra en el círculo unidad y se desplaza hacia la izquierda (como $A$ aumenta.

A veces se ve la figura de arriba dibujado con vértice $A$ a la derecha en lugar de a la izquierda. Que correspondería a la medición de ángulos a la derecha de la negativa $x$-eje. No es demasiado sorprendente que no es la unidad de círculo convención.

Pero si esto no tiene nada que ver con el sentido antihorario círculo unidad, ¿por qué tendemos a dibujar el triángulo para definir las funciones de la ángulo de $A$ donde $A$ es adyacente a un tramo horizontal? ¿Por qué no un vertical de la pierna? Sospecho que la respuesta es que podemos ver las líneas horizontales en un diagrama paralelo a la (local) de la superficie de la Tierra, mientras que las líneas verticales ir "hacia arriba", y por lo general es más fácil para medir el ángulo en el que un objeto aparece en relación a la tierra con relación a la "recta" de dirección. Creo que de un marinero en un barco en el mar tratando de medir el ángulo de la elevación del sol o de una estrella con un sextante.

Answer 4

Yo supongo que esto se refiere principalmente a la forma en que nos identificamos nuestros ejes de coordenadas. El primer eje es el de la izquierda-a-derecha $x$ eje. Sigue nuestras direcciones de lectura, de modo que los valores consecutivos de una función de la parcela se pueden leer en el orden de lectura. Luego tenemos el $y$ eje perpendicular a esta, de tal manera que más significa para arriba. Este es el eje secundario, y el orden de los asuntos aquí. El primer cuadrante es la región donde ambas coordenadas son positivas (o no negativo, si se prefiere), y tiene sentido asociar con $[0°,90°]$ como canónica de la gama de ángulos de un solo cuadrante. Y en este rango, el primer extremo de $0°$ está asociado con el primer eje en $x$ dirección, mientras que el segundo extremo de $90°$ se asocia con el segundo eje en $y$ dirección.

Por supuesto, hay convenios que difieren de esta. Usted ha mencionado el reloj, el cual ha $0°$ superior y se mueve a la derecha. Como Yves Daoust (y un poco más tarde de Wumpus P. Wumbley) señaló en un comentario, la motivación era probable que imitar relojes de sol, que (en el hemisferio norte) ir a las agujas del reloj así. Una pared con reloj de sol probablemente habría mediodía en la parte inferior, aunque, por lo que sólo se explica la elección de cero-punto que si usted considera la medianoche como el punto de referencia.

El principal beneficio en el reloj-como esquema es que el especial de la dirección inicial es vertical, la que mejor se adapta a nuestro día a día, donde la izquierda y la derecha dependen mucho del lugar en donde estamos parados, mientras que hasta es un concepto más universal. Y esta especial hasta la dirección que ahora sirve como un eje de simetría: cambiar el signo del ángulo de intercambios a la izquierda y a la derecha, que es más común, cosa que el intercambio de abajo y de arriba , al menos para alguien caminando en el suelo. Al parecer, la lectura fue más de una influencia que caminar, aunque.

También hay zonas en ciencias de la computación donde $x$ es el derecho, sino $y$ va a la baja. Esto proporciona una mejor partido de nuestras direcciones de lectura, los personajes en una fila de izquierda a derecha , pero las filas en una página desde la parte superior a la parte inferior. En este tipo de configuración, los ángulos volvería a ser medido en sentido horario, incluso, como el cero de la dirección sigue siendo la derecha.

En el final, no hay nada que hacer uno de estos convenions más correcta que las demás, pero los matemáticos tuvieron que decidirse por uno de ellos para evitar la eterna confusión (como surge con la gente usando uno de los otros convenios), y en ese momento, aparentemente, las razones para la primera opción eran frecuentes. Podría tener algo que ver con nuestro idioma: si en lugar de "el valor de $f$ en la posición $x$ $y$" estábamos acostumbrados a decir "obtenemos $y$ como el valor de $f$$x$", entonces se le podría haber considerado el valor del eje de la primera, y el parámetro de eje de la segunda, y todo podría haber trabajado de manera diferente. (Ya que la mayoría de los lenguajes de programación de hoy en día utilizan la notación como y = f(x), se podría llegar allí). O si la gente inventando función de parcelas estaban más acostumbrados a la lectura de datos tabulares de arriba a abajo, en lugar de texto de izquierda a derecha, podríamos haber tenido parámetros va esa dirección. Nunca vamos a saber.

Answer 5

Las cosas que están activadas: tornillos, bombillas de luz, neumáticos tuercas de spam llaves de agua, grifos, etc., son generalmente de la mano derecha. Pon tu mano derecha sobre ellos y punto de su dedo pulgar en la dirección que usted quiere la cosa-que-se-volvió a mover. Sus dedos se apunta en la dirección que usted necesita para convertir a hacer que se mueva en esa dirección. (Zurdo tuercas suelen tener un capital en forma de "L" para indicar que son diferentes.)

Tres dimensiones de los sistemas de coordenadas son de esperar a ser diestro. Pon tu mano derecha sobre el origen del plano x-y y el punto de su dedo pulgar en la dirección del eje z positivo. Sus dedos se acurrucó en un contador a las agujas del reloj. Esa es la dirección en que $\theta$ se espera que aumente.