Valores propios de la matriz PSD hermitiana y sesgada-hermitiana

Question

Me preguntaba, supongamos que tienes una matriz de la forma $A=B+iCC^\dagger$ donde $^\dagger$ denota el conjugado hermitiano. $B$ es hermitiana y $CC^\dagger$ es obviamente hermitiana positiva semidefinida.

¿Es cierto que si $A \psi = 0$ entonces $B \psi = 0$ y $C^\dagger \psi = 0$ ? Si es así, ¿cómo puedo probarlo? Mi idea era mirar $\psi^\dagger A \psi$ pero en vano.

Si no es cierto, ¿cuál sería un contraejemplo?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $D$ es una matriz hermitiana y $v$ es un vector, entonces $v^\dagger D v\in\mathbb{R}$ .

Así, si $Av=0$ entonces $0=v^\dagger Av=v^\dagger Bv+i(v^\dagger CC^\dagger v)$ .

Desde $v^\dagger Bv \in \mathbb{R}$ y $v^\dagger CC^\dagger v\in \mathbb{R}$ entonces $v^\dagger Bv=v^\dagger CC^\dagger v=0$ . Pero esto implica que $C^\dagger v=0$ ya que $CC^\dagger$ es semidefinido positivo.

Por lo tanto, $Av=0=Bv+iCC^\dagger v=Bv$ .

Answer 2

Aquí, utilizo $*$ para denotar la transposición conjugada.

Pensamientos hasta ahora:

Lema: para una matriz $M$ y el vector $x$ , $Mx = 0 \iff M^*Mx = 0$

Tenga en cuenta que $$ \psi^*(B + iCC^*)\psi = (\psi^*B\psi) + i(\psi^*CC^*\psi) $$ Observando que $(\psi^*B\psi),(\psi^*CC^*\psi) \in \Bbb R$ concluimos que $$ \psi^* A \psi = 0 \iff (\psi^*B\psi) = (\psi^*CC^*\psi) = 0\\ \Longleftarrow B\psi = C^*\psi = 0 $$ A continuación, observamos que $$ A\psi = 0 \implies \psi^*A\psi = 0 $$ (aunque lo contrario no es necesariamente cierto).