Cómo demostrarlo $\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0 e^{\cos \theta}\,d\theta = \sum\limits^\infty_{n=0}\frac{1}{(n!2^n)^2}$

Question

Cómo demostrarlo $$\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0 e^{\cos \theta}\,d\theta = \sum\limits^\infty_{n=0}\frac{1}{(n!2^n)^2}.$$

Parece que la expansión de Laurent no funciona bien aquí. Visité preguntas similares, tal vez ampliar $1=\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)$ ¿o con otros argumentos? Sigue sin funcionarme.

Answer 1

Taylor serie de $$e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ Para $$x = \cos \theta$$

$$e^{\cos \theta} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\cos^n\theta}{n!}$$ Integremos $$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} e^{\cos \theta} \ d \theta = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2\pi n!}\int\limits_{0}^{2\pi}\cos^n\theta \ d\theta$$

Pero incluso para $n$ que tenemos: $$\int\limits_{0}^{2\pi} \cos^n \theta = \frac{2 \pi}{2^{2k}}\frac{(2k)!}{(k!)^2}$$ y cero para impar $n$ ( Vea aquí por qué ), Por lo tanto: $$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} e^{\cos \theta} \ d \theta = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2\pi (2k)!}\frac{(2k)!}{(k!)^2} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2\pi (2k)!}\frac{2 \pi}{2^{2k}}\frac{(2k)!}{(k!)^2} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2k}}\frac{(1}{(k!)^2} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2^k k!)^2}$$

Answer 2

Pista: Con Integrales de Bessel forma y también forma de serie $$J_0(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-ix\sin\tau}\ d\tau=\sum_{k=0}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{(k!)^2}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2k}$$ configure $x=i$ y encontrarás el resultado. También funciones de Bessel modificadas $I_0(x)$ tiene el mismo caso.