Orientación homológica vs orientación suave.

Question

Suponga que $M$ $n$- dimensiones suave colector. Aunque he visto muchos hilos y volantes en línea que tratan con estas dos ideas diferentes que no puedo entender lo que los hace equivalentes. Por qué la elección de la constante orientación implica suave orientación para $M$? Las definiciones que estoy usando son los siguientes

$\mathbf{1.)}$ Liso orientación para un colector $M$ es un atlas maximal $\{ (U_{\alpha}, \phi_{\alpha}) \}_{\alpha \in A}$, de tal manera que la transición mapa $\phi_{\alpha} \circ \phi^{-1}_{\beta}$, $\forall \alpha, \beta \in A$, ha positiva determinante Jacobiano.

$\mathbf{2.)}$ Local (homológica) la orientación para un buen colector $M$ es la elección de generador $[M]_x \in H_n(M,M-\{x\}) \cong \mathbb{Z}$, $\forall x \in M$. Llamamos a la elección continua, si para cada a $x \in M$, existe una vecindad $x \in U \subset M$ y una clase de $a \in H_n(M,M-U)$, de tal manera que la inclusión $(M, M-U) \to (M,M-\{x\})$, induce un homomorphism $H_n(M,M-\{x\}) \to H_n(M,M-U)$ que envía a $a$$[M]_x$. Una continua orientación local para $M$ se llama homológica de orientación.

Answer 1

$2 \to 1$

Escoge un homológica orientación para $M$. Revisión de un generador de $H_n(\Bbb R^n, \setminus \Bbb R^n \setminus \{0\})$ (equivalentemente, asegúrese de saber cuál es la orientación en $\Bbb R^n$ usted está usando).

Para un gráfico de $\varphi_\alpha: U_\alpha \to \Bbb R^n$$\varphi_\alpha(x) = 0$, ten en cuenta que hay un inducida por el mapa de $(\varphi_\alpha)_*: H_n(U, U - \{x\}) \to H_n(\Bbb R^n, \Bbb R^n \setminus \{0\})$. Debido a $\varphi_\alpha$ es un diffeomorphism, $(\varphi_\alpha)_*$ es un isomorfismo. La inclusión del mapa de $H_n(U, U - \{x\}) \to H_n(M, M - \{x\})$ es un isomorfismo por el teorema de la escisión.

Podemos decir $(U_\alpha, \varphi_\alpha)$ es una orientada gráfico si el compuesto $$H_n(M, M - \{x\}) \xrightarrow{i^{-1}_*} H_n(U, U - \{x\}) \to H_n(\Bbb R^n, \Bbb R^n \setminus \{0\})$$ envía su elegido generador del primer grupo fijo generador de este último grupo.

La relevancia de la positiva Jacobiana condición es que un diffeomorphism $f: (\Bbb R^n, 0) \to (\Bbb R^n, 0)$ conserva el generador de $H_n(\Bbb R^n, \Bbb R^n \setminus \{0\})$ si y sólo si $\det \text{Jac}_0(f) > 0.$ En hecho, si usted tiene un suave mapa de $f: \Bbb R^n \to \Bbb R^n$ envío de $0$$0$, es homotópica a $\text{Jac}_0(f): \Bbb R^n \to \Bbb R^n$, determinado por la configuración de $f_{1-t}(x) = \frac{f(tx)}{t}$$f_1(x) = \text{Jac}_0(f)(x)$; esto es un continuo homotopy de $f$ que envía distinto de cero puntos a distinto de cero puntos mientras $f$ hizo lo mismo. (Si $f$ no, restringir a un pequeño conjunto abierto donde se hizo y ejecutar el mismo argumento: recuerde que la escisión que nos permite hacer esto cada vez que queremos.) Ahora sólo tenemos que ver la inducida por los mapas lineales, mapas; porque $GL_n(\Bbb R)$ tiene exactamente dos componentes, determinado por su determinante, sólo tenemos que comprobar la inducida por el mapa de dos lineal mapas. La identidad induce la identidad; una reflexión induce $-1$. (Use la secuencia exacta de los par $(D^n, S^{n-1})$ y la interpretación del mapa en la parte superior de la homología de grado como en la $S^{n-1}$.)

Así, la inducida por el mapa en $H_n(\Bbb R^n, \Bbb R^n \setminus \{0\})$ es el signo de $\det \text{Jac}_0 f$. Mientras usted elige sus gráficos para preservar la homológica orientación, sus mapas de transición será siempre positivo determinante Jacobiano.

$1 \to 2$

Misma receta de la forma anterior: esta vez la regla es que usted elija el generador de $H_n(M, M - \{x\})$ usando una orientada gráfico (como opuesto a la determinación de que los gráficos están orientadas al uso donde el generador va).