¿Cómo puedo determinar $ f(x)$ si $f(1-f(x))=x$ % real todo $x$? Yo he reconocido ya un problema causado por esto: resulta que $ f(f(x))=1-x $, que es discontinua. ¿Cómo se puede construir una función $f(x)$?
Mejor saludos y gracias, John
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Esta respuesta está fuertemente inspirado por Adrian Keister del trabajo. Definir $$g(x):=f\left(x+\frac{1}{2}\right)-\frac12\text{ for each }x\in\mathbb{R}\,.$$ (Tenga en cuenta que $f(x)=g\left(x-\dfrac12\right)+\dfrac12$ todos los $x\in\mathbb{R}$.) Por lo tanto, $$g\big(-g(x)\big)=f\left(-g(x)+\frac12\right)-\frac12=f\Biggl(1-f\left(x+\frac{1}{2}\right)\biggr)-\frac12=\left(x+\frac12\right)-\frac12=x$$ para todos los $x\in\mathbb{R}$. Por lo tanto, $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es un bijection y $$g^{-1}(x)=-g(x)\text{ for every }x\in\mathbb{R}\,.$$ Ahora, $$g(x)+g(-x)=g(x)+g\Big(-g\big(g^{-1}(x)\big)\Big)=g(x)+g^{-1}(x)=g(x)-g(x)=0$$ para todos los $x\in\mathbb{R}$. Es decir, $g$ es una función impar, y por lo $g(0)=0$.
De hecho, $x=0$ es el único punto fijo de $g$; $g(t)=t$ implica $$t=g\big(-g(t)\big)=g(-t)=-g(t)=-t\,.$$ Suppose also that $g(s)=-s$ for some $s\in\mathbb{R}$. A continuación, $$s=g\big(-g(s)\big)=g(s)=-s\,.$$ Por lo tanto, $s=0$.
Deje $a\neq 0$. Supongamos que $g(a)=b$ (teniendo en cuenta que $b\neq a$$b\neq -a$). Entonces tenemos $$g(b)=-g(-b)=-g\big(-g(a)\big)=-a\,.$$ Thus, we have a pattern $$a\mapsto b\mapsto -a\mapsto -b\mapsto a$$ under $g$. Therefore, the sets $$\big\{a,g(a),-a,-g(a)\big\}$$ form a partition of $\mathbb{R}_{\neq 0}$ into four-element subsets. In fact, for any such a partition, there exists a function $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con la propiedad requerida.
La partición del conjunto de números reales distintos de cero en $4$-elemento subconjuntos de la forma $\{a_\nu,b_\nu,-a_\nu,-b_\nu\}$ donde $\nu\in J$ para un conjunto de índices $J$. Tomar $$g(a_\nu):=b_\nu\,,\,\, g(b_\nu):=-a_\nu\,,\,\,g(-a_\nu):=-b_\nu\,,\text{ and }g(-b_\nu):=a_\nu$$ for every $\nu\J$. Then, $g$ satisfies the required functional equation. In addition, we set $g(0):=0$.
Es muy fácil traducir el resultado a $f$. Todas las soluciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisfactorio $$f\big(1-f(x)\big)=x\text{ for all }x\in\mathbb{R}$$ puede ser recuperada de la siguiente manera. En primer lugar, partición de $\mathbb{R}_{\neq \frac{1}{2}}$ a $4$-elemento subconjuntos de la forma $$\left\{A_\nu,B_\nu,1-A_\nu,1-B_\nu\right\}\text{ for }\nu\in I\,,$$ donde $I$ es un conjunto de índices. A continuación, tome la $$f(A_\nu):=B_\nu\,,\,\,f(B_\nu):=1-A_\nu\,\,\,f(1-A_\nu):=1-B_\nu\,,\text{ and }f(1-B_\nu):=A_\nu\text{ for every }\nu\in I\,.$$ Por último, establezca $f\left(\dfrac12\right):=\dfrac12$.
Adrian Keister
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Esta es una respuesta parcial.
Sabemos que $f(x)$ es invertible, porque $f^{-1}(x)=1-f(x),$ a partir de la original; a partir de aquí tenemos la muy interesante relación de $f(x)+f^{-1}(x)=1.$ Supongamos que tratamos de averiguar lo $f(0)$ es (igual a $a$). Por repetir alternando las aplicaciones de $f$ y la ecuación de $f^{-1}(x)=1-f(x),$ terminamos con el siguiente interesante tabla: $$ \begin{array}{c|c|c} x &f(x) &f^{-1}(x) \\ \hline 0 &a &1-a \\ \hline 1-a &0 &1 \\ \hline 1 &1-a &a \\ \hline a &1 &0 \end{array} $$ Un paso más que se mete donde se inició. En el estudio de esta tabla, podemos ver que si $f$ $f^{-1}$ son a estar bien definidos, no podemos tener a $a=0, 1/2,$ o $1$. Tenemos una tabla similar si empezamos con $x=-1:$ $$ \begin{array}{c|c|c} x &f(x) &f^{-1}(x) \\ \hline -1 &b &1-b \\ \hline 1-b &-1 &2 \\ \hline 2 &1-b &b \\ \hline b &2 &-1 \end{array} $$ A partir de aquí nos encontramos con que $b\not=-1, -3, 2, 1/2.$ otra tabla genera cuando empezamos con $x=-2:$ $$ \begin{array}{c|c|c} x &f(x) &f^{-1}(x) \\ \hline -2 &c &1-c \\ \hline 1-c &-2 &3 \\ \hline 3 &1-c &c \\ \hline c &3 &-2 \end{array} $$ De esto podemos conseguir que $c\not=3, 1/2, -2.$ Esto se generaliza a la siguiente tabla: $$ \begin{array}{c|c|c} x &f(x) &f^{-1}(x) \\ \hline 1-n &m &1-m \\ \hline 1-m &1-n &n \\ \hline n &1-m &m \\ \hline m &n &1-n \end{array} $$
A partir de aquí, podemos ver que $n=1/2$ fuerzas de $m=1/2,$, lo que sería coherente en esta tabla. Por lo $f(1/2)=1/2.$
En movimiento, podemos ver que se cumplen las siguientes condiciones: \begin{align*} f(1-x)&=y \\ f(1-y)&=1-x \\ f(x)&=1-y \\ f(y)&=x. \end{align*} La combinación de dos de estas ecuaciones rendimientos $f(1-x)=1-f(x)$. La diferenciación de los rendimientos $f'(1-x)=f'(x).$
Estos son en su mayoría negativos resultados, obviamente. Mi esperanza es que quizás estas ideas podrían impulsar a alguien a una solución.
