Convergencia de${\Large\int} _{1}^{+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan(\sqrt{x})\right)^{\alpha}(\cos(x^2)) dx$, para$\alpha \geqslant0$

Question

Estudie la convergencia de la siguiente integral para$\alpha \geqslant0$

ps

Lo he solucionado para$${\Large\int} _{1}^{+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan(\sqrt{x})\right)^{\alpha}(\cos(x^2)) dx$, que es la convergencia de$\alpha =0$, usando la sustitución$f(x)=\cos(x^2)$ y la prueba de Dirichlet. Y también para$t=x^2$, usando Taylor y convergencia absoluta. ¿Qué pasa con$\alpha\geqslant2$, tal vez mediante la prueba de comparación?

Answer 1

Del caso$\alpha = 0$ sabemos que existe$\int_1^\infty \cos(x^2) \, \mathrm{d}x$. Por lo tanto, la función$(1,\infty) \to \mathbb{R}, y \mapsto \int_1^y \cos(x^2) \, \mathrm{d}x \, ,$ está limitada. La función$x \mapsto \left[\frac{\pi}{2} - \arctan(\sqrt{x})\right]^\alpha$ está disminuyendo en$(1,\infty)$ con límite$0$% para$\alpha >0$. Ahora podemos aplicar nuevamente la prueba de Dirichlet para concluir que la integral de Riemann incorrecta converge para cada$\alpha > 0$.

Tenga en cuenta que tenemos convergencia absoluta si y solo si$\alpha > 2$. Para$\alpha = 2$ el integrando es asintóticamente equivalente a$\frac{|\cos(x^2)|}{x}$ y la integral de esta función diverge.