El razonamiento para la igualdad de la desigualdad de Cauchy Schwarz se mantiene

Question

Estoy tratando de entender la demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Tengo entendido que, además de eso, hay una observación de que la igualdad se mantiene si y sólo si uno de los términos es múltiplo escalar del otro. Y en el libro, esta es la prueba que se da.

Sé que hay muchas pruebas alternativas en MSE pero quería entender el argumento en el libro.

Se trata de lo siguiente :
$$\langle x,y\rangle=\Vert x\Vert \,\Vert y\Vert\implies\left\langle\frac {x}{\Vert x\Vert} ,\frac{y}{\Vert y\Vert}\right\rangle=1\implies\frac {x}{||x||}=\frac{y}{||y||}$$ Así, $$x= \Vert x\Vert\,\frac{y}{\Vert y\Vert}.$$
No entiendo la penúltima línea Cualquier ayuda será apreciada.
He asociado la captura de pantalla de la prueba

Answer 1

Cerca del comienzo de la prueba, muestran que para vectores de longitud unitaria $$\langle x-y, x-y\rangle = 2 - 2\langle x,y\rangle.$$ Pero recuerda que $\langle u,u\rangle = 0 \iff u = 0$ . Por lo tanto, si $\langle x,y\rangle = 1$ entonces $$\langle x-y, x-y\rangle = 2 - 2 = 0 \implies x -y = 0 \implies x = y$$

En lugar de asumir $x$ y $y$ son de longitud unitaria, si repetimos estos cálculos con $\frac{x}{\Vert x\Vert}$ y $\frac{y}{\Vert y\Vert}$ , se obtiene precisamente su prueba.

Answer 2

Ese paso se explicó mucho antes en la prueba:

Si $\langle x,y\rangle=1$ de la cadena de desigualdades anterior se deduce que $\langle x-y,x-y\rangle=0$ .

(por supuesto, esto en el caso $\|x\|=\|y\|=1$ como se indica en el libro).