Hipérbola rectangular - Una propiedad de las normales

Question

Consideremos la hipérbola rectangular $xy = c^2$ . Normales en los puntos $P,Q,R$ y $S$ en la curva son concurrentes, y se encuentran en el punto $O(h,k)$ . Encuentre $OP^2 + OQ^2 + OR^2 + OS^2$ .

Conseguí resolver el problema utilizando la geometría de coordenadas, y espero descubrir métodos bastante interesantes para abordarlo, aquí en Math SE. Una solución utilizando geometría Si es posible, sería estupendo. (Por supuesto, otros métodos también son bienvenidos).

Además, ¿es la suma $OP^2 + OQ^2 + OR^2 + OS^2$ constante para cualquier hipérbola rectangular, o es algo especial de $xy = c^2$ ?

Cabe señalar que una solución geométrica probablemente también nos ayudaría a entender si el resultado es o no general, respondiendo así a la segunda pregunta.

¡Muchas gracias!

P.D. Para completar este post, compartiré cómo abordé el resultado particular utilizando la geometría de coordenadas. En primer lugar, escribí la ecuación de la normal (en forma paramétrica) a la hipérbola rectangular dada, y enchufé $(h,k)$ en él (las coordenadas del punto $O$ ). Lo que resultó fue una ecuación de cuarto grado, y utilicé el teorema de Vieta para evaluar directamente la expresión requerida, para obtener $3(h^2+k^2)$ .

Answer 1

Ecuación de la tangente en $(x_k,y_k)$ ,

$$y_k x+x_k y=2c^2$$

Ecuación de la normal en $(x_k,y_k)$ ,

$$x_k(x-x_k)=y_k(y-y_k)$$

Si $(X,Y)$ es el punto común de las cuatro normales, entonces

$$x_k(X-x_k)=y_k(Y-y_k)$$

Por lo tanto, todos los puntos $(x_k,y_k)$ se encuentran en otra cónica:

$$x(X-x)=y(Y-y)$$

Sustituir $y=\dfrac{c^2}{x}$ ,

\begin {align} x(X-x) &= \frac {c^2(Yx-c^2)}{x^2} \\ x^3(X-x) &= c^2(Yx-c^2) \\ 0 &= x^4-Xx^3+c^2Yx-c^4 \end {align}

Por las fórmulas de Vieta,

\begin {align} X &= x_1+x_2+x_3+x_4 \\ [5pt] 0 &= \sum_ {i<j} x_i x_j \\ \sum x_k^2 &= \left ( \sum x_k \right )^2-2 \sum_ {i<j} x_i x_j \\ &= X^2 \\ [5pt] \sum (x_k-X)^2 &= \sum (x_k^2-2x_k X+X^2) \\ [5pt] &= \sum x_k^2-2X \sum x_k+4X^2 \\ [5pt] &= X^2-2X^2+4X^2 \\ &= 3X^2 \end {align}

De la misma manera,

$$\sum (y_k-Y)^2=3Y^2$$

Véase también otra respuesta aquí y también el caso de la elipse aquí .

Answer 2

Prueba

Por comodidad, denotamos las coordenadas de los cuatro puntos $P,Q,R,S$ como $(x_i,y_i)$ donde $i=1,2,3,4$ respectivamente.

En cuanto a $xy=c^2$ tenemos $$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\frac{c^2}{x^2}.$$ Por lo tanto, la pendiente de la normal en cualquier punto $(x,y)$ en la hipérbola es $$k=\frac{x^2}{c^2}.$$ Por lo tanto, la ecuación de dicha normal es $$\frac{y-k}{x-h}=\frac{x^2}{c^2}.$$ Poner $y=\dfrac{c^2}{x}$ en él. Obtenemos $$x^4-hx^3+c^2kx-c^4=0,$$ aparentemente, que tienen cuatro raíces reales, a saber, $x_i$ donde $i=1,2,3,4$ como se ha definido anteriormente.

Así, por el teorema de Vieta, tenemos $$\sum x_i=h;~\sum_{\mathrm{cyc}}x_ix_j=0.$$ Del mismo modo, también podemos tener $$\sum y_i=k;~\sum_{\mathrm{cyc}}y_iy_j=0.$$ De ello se desprende que \begin {align*}&OP^2+OQ^2+OR^2+OS^2 \\ =& \sum [(x_i-h)^2+(y_i-k)^2] \\ =& \sum x_i^2-2h \sum x_i+4h^2+ \sum y_i^2-2k \sum y_i+4k^2 \\ =& \left ( \sum x_i \right )^2-2 \sum_ { \mathrm {cyc}}x_ix_j-2h \sum x_i+4h^2+ \left ( \sum y_i \right )^2-2 \sum_ { \mathrm {cyc}}y_iy_j-2k \sum y_i+4k^2 \\ =&h^2-2 \cdot 0-2h^2+4h^2+k^2-2 \cdot 0-2k^2+4k^2 \\ =&3(h^2+k^2), \end que es una constante de hecho.