demostrar; La suma de parte de los números $1,2,...,n$ puede ser la media de los números restantes si $n+1$ es un cuadrado.

Question

He visto esta pregunta y he demostrado la primera mitad del "iff", pero todavía necesito ayuda para demostrar la segunda mitad.

Del conjunto $1,2,...,n$ se toma la suma de una parte de los números, de modo que la suma será la media de los números restantes del conjunto. Se puede tomar $2$ números o más. Demuestra que es posible si y sólo si $n+1$ es un cuadrado.

Tomemos la primera $k$ números, para que su suma sea; $1+2+...+k=\frac{k^2+k}{2}$ esta suma debe ser la media de $\{k+1,k+2,...,n\}$ que se sabe que es la media de $\{k+1,n\}$ . así que; $$\frac{k+1+n}{2}=\frac{k^2+k}{2}\\k+1+n=k^2+k\\n+1=k^2$$ Eso demuestra la primera parte, que siempre puedo encontrar una solución si $n+1$ es un cuadrado, pero no he encontrado la manera de demostrar la parte "sólo si". Supongo que hay que demostrar que el ejemplo anterior es el único, pero no he encontrado esa prueba jet.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Digamos que para un determinado $n$ hay un $k$ tal que la tarea es posible. Denote la suma de los números que elija por $S_k$ entonces tenemos $$\frac{n^2+n}{2}-S_k=S_k(n-k)$$ O $2S_k=\dfrac{n^2+n}{n-k+1}\ge k^2+k$ lo que equivale a $(n-k)(n+1-k^2)\ge 0$
Porque $n-k>0$ así que $n+1\ge k^2$ por lo que podemos establecer $n+1=k^2+t\ (t\ge 0)$ .
Desde $n-k+1\mid n^2+n$ y $n-k+1\mid n^2-k^2+n+k$ , lo que nos da $$k^2-k+t\mid k^2-k\Rightarrow k^2-k\ge k^2-k+t$$ Así que $t$ debe ser $0$ o $n+1=k^2$ y nuestra prueba está completa