Autoaprendizaje de matemáticas

Question

Me gradué en el instituto hace 5 años, decidí no ir a la universidad, así que la vida me ha llevado por otros derroteros. Sin embargo, desde que me gradué he estado medio seriamente interesado en las matemáticas, aprendiendo cosas que me parecían interesantes (los intereses estaban por todas partes, así que mi conocimiento de las matemáticas es irregular).

Ahora, tengo el deseo de aprender matemáticas por mi cuenta de una manera más o menos lineal y formal. Mi objetivo es ser algo competente en las ramas "básicas" de las matemáticas que se enseñan en la universidad.

Mi pregunta: (1) ¿Cuáles son las ramas básicas de las matemáticas que se enseñan en la universidad y que debo aprender obligatoriamente (no dude en dar una lista relativamente larga)? (2) ¿en qué orden debo aprenderlas? y (3) ¿cuáles son los mejores libros de texto para aprenderlas por tu cuenta?

Answer 1

Mi consejo sería que hicieras un curso de matemáticas en la Open University o que compraras los materiales del curso en e-bay. De esta forma obtendrías una amplia formación matemática con materiales muy bien explicados. También aprenderías a leer libros de texto de matemáticas, ya que es una habilidad en sí misma. Si no vives en el Reino Unido, echa un vistazo en línea y compra los materiales del curso de acceso en e-bay para ver qué te parecen. Lo bueno es que empiezan desde el principio sin asumir ningún conocimiento real de matemáticas.

Answer 2

En la Iniciativa de Libros de Texto Abiertos del Instituto Americano de Matemáticas encontrará una buena lista de temas y, además, una lista de fuentes gratuitas en línea: https://aimath.org/textbooks/approved-textbooks/

En cuanto al orden, podrías empezar por la primera columna de la izquierda, luego ir hacia abajo y luego pasar a la segunda columna, etc... No es un orden perfecto y puedes saltarte algunos temas (lo más probable es que los primeros ya los hayas visto). Pero más o menos esta es una buena representación de los temas que uno se encontraría en una licenciatura de matemáticas, y para cada tema un par de textos que se han utilizado en tales clases y se pueden utilizar de forma gratuita en línea.

En cuanto a cómo autoaprender. Es muy parecido al aprendizaje en clase, pero requiere mucha más automotivación (no existe la amenaza de una mala nota). Lo mejor es ir sección por sección, y después de cada sección intentar hacer tantos ejercicios como sea posible. No hay nada mejor que hacer ejercicios. No te preocupes si tienes dificultades con los ejercicios. Si son demasiado fáciles, no estás aprendiendo mucho. Como se suele decir: No pain ... no gain.

Muchos libros de texto suelen tener en algún lugar de la introducción al menos una sugerencia al profesor sobre el mejor curso posible. Si estudias por tu cuenta... tú eres el "profesor".

Al final, diría que la diferencia entre los libros de texto no es tan grande. Existen libros de texto terribles, sin duda, pero cualquier libro de texto que se haya utilizado en un par de clases es probablemente lo suficientemente bueno para el autoaprendizaje. Lo que marcará la diferencia es cómo afrontes tú mismo el aprendizaje y cuánta motivación tengas. Lo mejor es que te fijes un horario: reserva tiempo para leer, para ver cuánto quieres leer cada vez y para hacer los ejercicios de las secciones que has leído.

Answer 3

Como estudiante de informática, recomiendo álgebra lineal y matemáticas discretas. Las matemáticas discretas te hacen pensar de verdad e idear enfoques eficaces para resolver un problema. En cuanto a libros, visita la biblioteca de tu colegio o universidad, normalmente tienen los libros que se imparten en la escuela en la sección de reserva. Busca qué libro es necesario para qué cursos. También puedes encontrar y descargar la versión PDF de los libros en línea.

Aquí están mis libros sugeridos:

1. Álgebra lineal contemporánea por Howard Anton y Robert Busby
2. Matemáticas discretas y combinatorias (5ª edición) por Ralph P. Grimaldi

Esta es la página web de los cursos y materiales necesarios para obtener el título de Matemáticas en la Universidad Simon Fraser. Al hacer clic en cada curso, se puede ver la lista de temas que se tratan, y le dirá los libros que se utilizan para el curso.

http://www.sfu.ca/students/calendar/2018/fall/programs/mathematics/major/bachelor-of-science.html

http://www.sfu.ca/students/calendar/2018/fall/programs/applied-mathematics/major/bachelor-of-science.html

Answer 4

Sólo me he educado en el Reino Unido, así que haré referencia a cómo funcionan las cosas allí en mi respuesta.

He aquí una lista de "cosas imprescindibles", que en realidad es una lista de "cosas que cabe esperar que un matemático no matemático conozca; cosas que cabe esperar que un matemático conozca (aunque quizá no en detalle ni todas ellas); y cosas que forman la base de algo que un matemático podría estudiar"

1. (La mayoría de ellos deberían ir precedidos de "elemental") (a) Puesta al día y ampliación de matemáticas (una mezcla de cálculo/ecuaciones diferenciales, "álgebra lineal" básica, es decir, vectores y matrices desde el punto de vista de las matemáticas aplicadas. Esto debería extenderse a algunas técnicas clásicas de resolución de odas, sistemas lineales multivariables de primer orden de odas (mezclado con el álgebra lineal), planos de fase, Cauchy-Schwartz, eigenthings, algunas matrices "especiales" (simétricas, unitarias, ortogonales, hermitianas). (b) Cierta introducción a "cómo hacer demostraciones y algunos objetos fundamentales de las matemáticas", una introducción no formal a la lógica, los números enteros, los conjuntos. Algo de teoría numérica básica (por ejemplo, hasta el teorema chino del resto y el TLC), una comprensión de lo que significa ser un conjunto, función, relación, relación de equivalencia, inyección, sujeción, biyección (pero sin, por ejemplo, ZFC), el principio débil/fuerte de inducción. Qué es un número racional o real. Esto debería bastar para hacer frente al análisis. (c) Teoría de grupos. Creo que debería empezar con la definición de un grupo (no debería requerir mucho de la definición de un conjunto, pero podría haber muchos ejemplos basados en la teoría de números), luego trabajar a través de homo/isomorfismo, núcleo/imagen a varios teoremas básicos (Cayley, Cauchy, Lagrange) y hasta acciones (y estabilizador de órbita) (d) probabilidad, es decir, qué es un espacio de probabilidad, qué es la expectativa, qué es la probabilidad condicional. También funciones indicadoras y un puñado de distribuciones. Leyes de los grandes números. (e) Algo de física. Creo que algo de dinámica clásica y relatividad especial está bien. Algunas personas no creen que esto cuente como matemáticas, pero yo creo que hay que incluir las matemáticas aplicadas y la física pura. Los cursos americanos tienden a ser más puros. (f) Análisis real. Debería empezar con secuencias y series (quizá incluir el radio de convergencia), pasar a la continuidad, luego a la diferenciación y, por último, a la integración de Riemann. Terminar con algunos teoremas fundamentales del cálculo. (g) Más cálculo. Esta vez cálculo vectorial. No debería centrarse mucho en las pruebas, sino más bien en las aplicaciones (sobre todo a la física). Incluir las derivadas mv y, sobre todo, la notación sufija y la idea de tensor. (h) Topología: definición de espacio métrico, conjunto abierto, función continua, homeomorfismo, conjunto cerrado, espacio producto, espacio cociente, definición de topología, algunas topologías extrañas, sin llegar a la homotopía.

2. (a) Álgebra lineal. Un montón de definiciones. Un montón de pruebas. No muy divertido, pero relevante para las matemáticas posteriores. (b) Análisis real para múltiples variables. (c) Estadística. Una extensión de la probabilidad a cosas como la verosimilitud y los estimadores. (d) Algunas técnicas generales de matemáticas aplicadas, teoría de Sturm-Liouville, series de Fourier, transformada de Fourier, transformada de Laplace. (e) Algo de cálculo o análisis complejo. Cosas como series de Laurent, polos e integración de contornos. (f) Más álgebra. Otros teoremas de isomorfismo para grupos, categorización de grupos abelianos, anillos (conmutativos), por ejemplo, campos o módulos. Quizá otras introducciones: electromagnetismo, dinámica de fluidos, mecánica cuántica, principios variacionales para cálculos físicos, algo de geometría no algebraica, teoría de grafos

3. Otras cosas que hacer según interés: QM, relatividad general, topología algebraica, geometría algebraica, teoría de Galois, teoría de la representación, más teoría de números, hacia la teoría algebraica de números, análisis funcional, más fluidos, probabilidad más formalizada, análisis más avanzado (por ejemplo, integración de Lebesgue), lógica formal.

Por orden yo diría más o menos en 1. 2. 3., siguiendo intereses. Algunas cosas pueden hacerse fuera de orden. Por ejemplo, la teoría de grafos y la teoría de números no tienen requisitos previos, aparte de la madurez matemática. En cuanto a los libros, creo que los mejores suelen ser textos introductorios dirigidos a estudiantes, pero es difícil empezar a leerlos sin una base matemática. No creo que las recomendaciones sean muy útiles, ya que sólo he leído un libro por curso, y lo mismo le ocurre a la mayoría de la gente, así que no estoy en situación de comparar libros.