¿Una forma más agradable para$\sum_{r=1}^{m}\sum_{d|r}(-1)^{r+d} d^3$?

Question

Pregunta Específica

Deje $R$ ser un número entero. Es posible que para cualquier número entero $c>0$ que hay una mejor forma para $\sum_{r=1}^{R^c}\sum_{d|r}(-1)^{r+d} d^3$? Espero que podamos evaluar a esta suma, pero en lugar de que tal vez algo más barato de cómputo. Tomando $c=1$ podemos examinar: $$f(x)=\sum_{r=1}^{x}\sum_{d|r}(-1)^{r+d} d^3$$ Aquí hay una tabla de los 100 primeros valores de esta función $f$. Esta función debe crecer $O(x^4)$ por razones que debe ser claro después de la lectura de la exposición. TLDR: $f(x)/x^4$ límites a $\frac{\pi^4}{384}$ $x$ se hace grande.

De la exposición.

Deje $\phi_n(r)$ denotar el número de enteros soluciones a la $n$-dimensiones hypersphere $r=\sum_{i=1}^n x_i^2$.

A continuación, descubriendo $\phi_2(r)=4 \sum_{d|r} \sin(\frac{\pi}{2}d)$ nos permite encontrar una fórmula para $\pi$. Es decir, la fórmula de Leibniz para $\pi$. Teniendo en cuenta que la suma del número del número entero de soluciones para cada una de las $r$ $1$ $R^2$debe aproximar el volumen de una esfera (que para este caso especial $n=2$ va por el nombre especial de 'círculo') con un radio de $R$ llegamos a:

$$\pi R^2 \approx\sum_{r=1}^{R^2}\phi_2(r)$$ and after dividing both sides by $4R^2$ and unpacking our definitions we arrive $$\frac{\pi}{4}=\lim_{R\to\infty} \frac{1}{R^2}\sum_{r=1}^{R^2}\sum_{d|r}sin \Big(\frac{\pi}{2}d \Big)$$ $$=\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n}sin\Big(\frac{\pi}{2}d \Big)}$$

Así que ahora que hemos visto el desarrollo de una $2$-dimensiones de la esfera de lo que es el desarrollo de las 8 dimensiones de la esfera? Tenga en cuenta que el${\phi_8(r)= 16\sum_{d|r} (-1)^{r+d}d^3}$, que proporciona una forma de aproximar el volumen de un $8$-dimensiones hypersphere:

$$\frac{1}{24}\pi^4 R^8 \approx \sum_{r=1}^{R^2}\phi_8(r)$$

Dividimos ambos lados por $16R^8$, para llegar a

$$\frac{\pi^4}{384}= \lim_{R\to\infty} \frac{1}{R^8}\sum_{r=1}^{R^2} \sum_{d|r} (-1)^{r+d}d^3$$

De hecho! A mí me parece que para cualquier número entero $c$,

$$\frac{\pi^4}{384}= \lim_{R\to\infty} \frac{1}{R^{4c}}\sum_{r=1}^{R^c} \sum_{d|r} (-1)^{r+d}d^3$$

Esto proporciona un buen secuencia que converge a $\pi^4/384$. Dejando $c=1$ esta secuencia de la tasa de convergencia es bastante atroz.

$$1,\frac{8}{16},\frac{36}{81},\frac{107}{256},\frac{233}{625},\dots $$

Los números impresos de todo exacto ... cero decimales... debe converger, sin embargo.

pero tomando las $c$ más grande que llegamos a esta serie mucho más rápido. Para $c=2$,

$$1,\frac{107}{256},\frac{2113}{6561},\frac{19128}{65536}, \dots $$

Sólo el último número impreso es precisa para el primer decimal de $\pi^4/384$.

Puedo ver cualquier otra cosa aquí? Hay una forma cerrada para este

$$\sum_{r=1}^{R^c}\sum_{d|r}(-1)^{r+d} d^3$$

Las secuencias de interés incluyen A008457, A138503. Creo que este enlace puede ser un buen recurso, pero (estoy casi seguro), la "fórmula" en ella, deberían ser etiquetados como una función de la generación de A055414.

Supongo que es poco probable que el problema es más fácil de lo $c>1$ pero pensé que me gustaría incluir este pensamiento sólo en caso de que el problema es de alguna manera posible solución para algunos $c$.

Una más de los alimentos en general para el pensamiento cuestión ¿Este desarrollo de hacerme cosas similares que buscan para otras dimensiones de la $n$?

Answer 1

Limpio Pregunta! Lo que sigue es sobre todo un comentario largo.

Definir $\tilde{\sigma}_s(n):=\sum_{d|n}(-1)^{d-1}d^s$, un "alternando la suma de los divisores de la función." Su suma se convierte en $\sum_{r=1}^x(-1)^{r+1}\tilde{\sigma}_3(r)$. Si ahora tomamos la clásica de la suma de los divisores $\sigma_s(n)$, entonces es fácil ver que $\tilde{\sigma}_s(2k+1)=\sigma_s(2k+1)$$\tilde{\sigma}_s(2k)=\sigma_s(2k)-2^{s+1}\sigma_s(k)$.

Su suma es casi el famoso Ramanujan Eisenstein suma $Q(q):=1+240\sum_{r=1}^\infty\sigma_3(r)q^r=1+240\sum_{r=1}^\infty \frac{r^3q^r}{1-q^r}$, con la diferencia de que su suma es finita y con la advertencia de que esta suma golpes para $|q|=1$. Eso es lamentable, porque para $|q|<1$, hay un montón de identites que $Q$ satisface, y no estoy seguro de que va a llevar más fácilmente en el caso finito. Parece que esto podría ser relevante papel, donde encontrará un compendio de las identidades de las $\tilde{\sigma}_3(n)$, junto con análogos de infinito Ramanujan Eisenstein sumas:

Convolución Sumas de algunas de las funciones de divisores -- Hahn