Endomorfismos naturales no triviales en $\operatorname{Top}$

Question

$$ \newcommand{cat}[1]{\operatorname{#1}} $$

Estoy trabajando en el siguiente ejercicio que se encuentra en la teoría de las categorías de Emily Riehl en su contexto,

Ejercicio 2.2.vi. ¿Existen endomorfismos naturales no identitarios de la categoría de espacios? Es decir, ¿existe alguna familia de mapas continuos $X \longrightarrow X$ definida para todos los espacios $X$ y no todas son identidades, que son naturales en todos los mapas de la categoría $\operatorname{Top}$ ?

y quiero comprobar si mi razonamiento es correcto.

Esto es lo que he pensado: si una transformación tan natural $\eta : id_{\cat{Top}} \Rightarrow id_{\cat{Top}}$ existiría, con al menos una flecha no trivial, esto daría lugar a un endomorfismo natural del functor olvido $U: \cat{Top} \rightarrow \cat{Set}$ componiendo con dicho functor, cuyas flechas no son todas triviales. En particular, tendríamos que $\cat{Nat}(U,U)$ tiene más de un elemento, porque también existe la transformación natural trivial. Sin embargo, el functor olvidadizo $U$ es representable por el espacio singleton $*$ y así

$$ \cat{Nat}(U,U) \simeq \cat{Nat}(\cat{Top}(*,-), \cat{Top}(*,-)) \stackrel{Yoneda}\simeq \cat{Hom}_{\cat{Top}}(*,*) $$

lo cual es absurdo, porque implicaría

$$ 1 < |\cat{Nat}(U,U)| = |\cat{Hom}_{\cat{Top}}(*,*)| = 1 $$

¿He interpretado bien la pregunta? Me cuesta procesar algunas afirmaciones.

Answer 1

Sí, esto es correcto. Más directamente, se puede considerar cualquier espacio $X$ , cualquier $x\in X$ y el mapa $*\to X$ que envía el punto a $x$ . Naturalidad de $\eta$ con respecto a este mapa dice exactamente que $\eta_X(x)=x$ . (Sin embargo, este argumento es en realidad exactamente el mismo que el tuyo, cuando desenmascaras la prueba del lema de Yoneda).