¿Cuántas caras de un sólido se pueden "ver"?

Question

¿Cuál es el número máximo de caras de un sólido totalmente convexo que se puede "ver" desde un punto?

...y, sobre todo, ¿cómo puedo plantear mejor esta pregunta? (Soy un estudiante universitario con poca experiencia en hacer preguntas bien formadas, y mucho menos en responderlas).

Por "ver" me refiero a algo así: apuntas con una cámara desde un punto al sólido, y miras la imagen. ¿Cuántas de las caras del sólido parecen caras y no sólo líneas? Supongamos que el objetivo es sólo un punto en el espacio (no hay lentes más anchas que el propio sólido) y que la cámara está a una distancia finita del sólido. Sé que esta es una definición rudimentaria... si tienes alguna idea para una definición más rigurosa, esto sería genial, entonces tal vez haya maneras de probar la respuesta a mi pregunta matemáticamente.

Por ejemplo, en la imagen de este cubo , se pueden ver 3 caras. Esto es lo máximo que se puede ver para un cubo. ¿Cómo se puede demostrar eso?

¿Qué métodos podrías utilizar para demostrar esto para un sólido convexo de cualquier tamaño y forma? ¿Hay formas de hacerlo usando sólo matemáticas relativamente básicas (cálculo multivariable, álgebra lineal, geometría de la escuela secundaria)?

Answer 1

Siempre se puede encontrar un lugar desde el que ver al menos la mitad de las caras.

Para ver por qué, empieza por considerar un poliedro con simetría central. Imagina un punto de vista desde el que no ves ninguna línea como punto ni ninguna cara como línea (es decir, la posición general) y lo suficientemente lejos como para que puedas ver todas las caras cuyas normales apuntan a tu lado del semiplano perpendicular a tu línea de visión. A continuación, piensa en lo que ves desde una distancia suficiente en la dirección opuesta. Puedes ver todas las caras desde un lado o desde el otro y ninguna cara desde ambos lados, así que la simetría dice que ves la mitad cada vez.

Cuatro de los cinco poliedros regulares tienen un centro de simetría. El tetraedro no lo tiene: no hay lugar para poner el origen que permita la invariabilidad bajo el mapa $x \to -x$ .

Incluso sin simetría central, se ven todas las caras de un lado o de otro, por lo que se ve al menos la mitad de un lado. Las pirámides representan un caso extremo. Puedes ver todas las caras menos una desde una dirección y solo una desde la otra, como señala @almagest en un comentario.

Como el poliedro sólo tiene un número finito de caras, "lo suficientemente lejos" en la prueba anterior no tiene por qué estar en el infinito (aunque puede estar bastante lejos). Como comenta @JohhHughes, si pones la cámara lo suficientemente cerca de cualquier cara, esa será la única cara que verás.

Nota: los argumentos funcionan en todas las dimensiones. Son especialmente fáciles de visualizar en el plano. (En la línea son triviales).

Answer 2

Como ha señalado @almagest, el número máximo absoluto de caras que se pueden ver de un poliedro con $n$ caras es $n-1$ . Esto se consigue en el caso de una pirámide recta con una base y $n-1$ lados; si se ve la pirámide desde arriba del vértice, se pueden ver todos los lados excepto la base. Esto es quizás cierto para las pirámides no rectas y otras formas también.

El número mínimo absoluto de caras que puedes ver es 1, como has dicho: sólo tienes que colocarte (o colocar la cámara) arbitrariamente cerca de cualquier cara. Como el poliedro es convexo, ninguna de las caras "sobresaldrá" de ninguna forma y sólo verás una forma.

Sin embargo, ambos límites son bastante obvios e inútiles. Como en la respuesta anterior, la mitad de las caras de un poliedro regular con centro de simetría pueden verse desde una distancia suficiente. Yo ampliaría esto para decir que aproximadamente la mitad de las caras de un poliedro aproximadamente regular se pueden ver desde una distancia suficiente, donde "aproximadamente" es una constante de tolerancia adecuada. Creo que es ilustrativo pensar en la esfera que circunscribe completamente el poliedro, de la que obviamente se puede ver exactamente la mitad. Tal vez esa mitad pueda ser "mapeada" en las caras del poliedro.

Answer 3

Tal vez este artículo, que trata la situación de forma bastante abstracta y para politopos de mayor dimensión, pueda interesar a algunos: http://www-math.mit.edu/~rstan/transparencias/vis.pdf

Answer 4

No sólo en el caso de una pirámide, sino también en el de un "diamante hemiesférico" tallado con cualquier número de caras planas, cuando se mira desde lo suficientemente lejos, mostrará $n-1$ caras.
Si se considera sólo el poliedro regular, la respuesta puede variar.
Volviendo a un método general, para un poliedro convexo general y una cámara "común", entonces considera el cono visual de la cámara (algo menos que ${2\pi }$ estereorradianes), con el vértice situado en la posición de la cámara. Recogerá todos los rayos dentro de ese cono. Considera ahora el poliedro como emisor de luz. Puedes considerar que cada cara irradia desde su centro en todas las direcciones que irradian hacia el exterior. Si el poliedro es convexo, cada cara debe irradiar libremente en el hemisferio exterior. Excluya los rayos en $90°$ de la vertical si no se tiene en cuenta face=line. Comprueba si hay un rayo radiado que pueda alcanzar la cámara, y si está dentro de su cono de visión. O invierta la trayectoria del rayo.
Con una descripción matemática adecuada del poliedro, la tarea de SW no es demasiado difícil.

Answer 5

Aquí hay algunas definiciones (en la dimensión 3, pero se puede generalizar fácilmente):

Definición : Dado un número finito de puntos con coordenadas $P_1 = (x_1,y_1,z_1), .., P_n = (x_n,y_n,z_n)$ un sólido convexo es el casco convexo de estos puntos, es decir, todos los puntos del espacio definido como $\sum_{1\leq i \leq n} \lambda_i P_i$ con $\forall i \in [1,n], \lambda_i \in \mathbb{R}, 0 \leq \lambda_i \leq 1, \sum_{1 \leq i \leq n } \lambda_i = 1$

Por ejemplo, los puntos (0,0,0); (1,0,0); (0,1,0); (1,1,0); (0,0,1); (1,0,1); (0,1,1); (1,1,1) definen un cubo.

Rq : Si añado el punto (0,5,0,5,0,5), defino el mismo cubo.

Definición : Un plano orientado son 4 números reales $a, b, c$ y $d$ .

Definición : Un plano orientado es una cara de un sólido, si al menos tres puntos que definen el sólido verifican $ax+by+cz = d$ (están en el plano), y todos los puntos del sólido verifican $ax+by+cz \leq d$ .

Por ejemplo, el plano definido por $a=1, b=0, c=0, d=1$ en el cubo descrito anteriormente es una cara. La definida $a=1, b=1, c=0, d=1$ no lo es, ya que falla la segunda condición de la definición. La definida por $a=-1, b=0, c=0, d=-1$ tampoco lo es. De hecho, la definición especifica $ax+by+cz \leq d$ y no es el caso aquí.

La definición de cara dada aquí permite controlar en qué "lado" del plano se encuentra el sólido. Poner un signo "-" delante de todos los coeficientes que definen una cara significaría que el sólido está en el otro lado del plano.

Definición : Una dirección de vista es un vector $(x_v,y_v,z_v)$ con $x_v^2+y_v^2+z_v^2=1$ .

La dirección se puede identificar en la forma de mirar. Aquí se supone que se mira desde un punto a una distancia infinita.

Definición : Un rostro $(a,b,c,d)$ de un sólido es visible desde una dirección $(x_v,y_v,z_v)$ si $ax_v+by_v+cz_v < 0$ .

Aquí está la prueba (versión corta) para el cubo (con los puntos descritos anteriormente).

Todas las caras de este cubo están definidas por las siguientes cuadraturas (y no otras) :

• (1,0,0,1)

• (0,1,0,1)

• (0,0,1,1)

• (-1,0,0,0)

• (0,-1,0,0)

• (0,0,-1,0)

Así, con cualquier dirección de visión, se ven como máximo tres caras (las correspondientes al signo de su dirección de visión). (se ven menos si una de las coordenadas de la dirección de visión es 0, significaría que sólo vemos algunas de sus aristas).

Para otro tipo de sólido, se necesitan sus puntos definitorios, y entonces la prueba sería básicamente así

• primero encontrar todas las caras de este sólido

• asumir que hay otra cara y descubrir que es una que ya tienes (por lo que has demostrado que las tienes todas)

• Suponga que tiene una dirección de visión. Entonces, un montón de casos para mirar, como "si mi dirección es tal que $x_v + ... < ...$ "

• encontrar, en todos los casos, el número máximo de caras

Si cree que hay una forma más sencilla/convencional de definir el problema, no dude en mencionarlo.