¿Sobre un anillo comutativo unital, $\det A = 0$ implica que el $A\mathbf{x} = 0$ tiene una solución distinta de cero?

Question

Este es un estándar teorema de álgebra lineal sobre los campos que es cierto cuando se trabaja a través de una integral de dominio.

Para un conmutativa unital integral de dominio $R$, vamos a $A$ $n\times n$ matriz con entradas en $R$. El sistema de ecuaciones lineales $A\mathbf{x}=0$ tiene un valor distinto de cero solución si y sólo si $\det(A) = 0$.

La dirección de esta declaración no es cierto, aunque si estamos trabajando sobre un anillo de $R$ que no es una parte integral de dominio, un contador, por ejemplo $$ R = \boldsymbol{Z}_6 \qquad A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \qquad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \,. $$

Pero, ¿qué acerca de la otra dirección? Qué $\det(A) = 0$ implica que $A\mathbf{x} = 0$ tiene un no-cero de la solución a través de una arbitraria conmutativa unital anillo? He jugado un poco, y todavía tienen que encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Deje $A$ ser cuadrada de tamaño $n \times n$, e $\det A=0$. A continuación, $A\,\textrm{adj}(A)=0$ donde $\textrm{adj}(A)$ es la adjunta de a $A$. Mientras $\textrm{adj}(A)\neq 0$ luego de tomar algunas columna de $\textrm{adj}(A)$ da $x$ con $Ax=0$.

Pero lo que si adj$(A)=0$? En este caso, todos los menores de $A$ se desvanecen. Encontrar una plaza más grande submatriz de a $A$ con determinante distinto de cero. Podemos asumir que es el tamaño de la $r$ $r$ llena y en la esquina superior izquierda de $A$. Deje $B$ ser la parte superior izquierda $r+1$ $r+1$ submatriz de a $A$. A continuación, $\det B=0$ pero adj$(B)\ne0$. Deje $y$ $(r+1)$- ésima columna de adj$(B)$ $z$ ser la columna vector de la altura de la $n$ consiguió añadiendo ceros por debajo de $y$. A continuación, $z\ne0$ (debido a la no desaparición de la parte superior izquierda $r$ $r$ determinante) y afirmo que $Az=0$.

La parte superior $r+1$ entradas de $Az$ son sin duda cero. Esta es la identidad $B\,$adj$(B)=0$. Si nos fijamos en otra entrada, decir la $s$-th, a continuación, es cero, esencialmente mediante la sustitución de la fila inferior de $B$ por el primer $r+1$-th las entradas de la $s$-ésima fila de a $A$, y tomando nota de que la nueva matriz de cero determinante, ya que se obtiene a partir de una submatriz de a $A$ del tamaño de la $r+1$ por $r+1$ por operaciones elementales con sus filas. Como todas las submatrices de a $A$ de este tamaño de la fuga determinante, esto completa la prueba de que $Az=0$.

Answer 2

En un anillo conmutativo (1), resulta que, sí, $Ax=0$ tiene un no-trivial solución si y sólo si $\det(A)$ es cero o un divisor de cero. Esto se deduce del teorema de McCoy.

Aquí hay un enlace a una pregunta relacionada con la de mi propia:

MSE -- ¿estas matriz de anillos tienen distinto de cero elementos que no son ni unidades ni divisores de cero?

MO -- https://mathoverflow.net/questions/77816/do-these-matrix-rings-have-non-zero-elements-that-are-neither-units-nor-zero-divi

Un enlace a un documento con una cuenta de McCoy el rango del teorema: http://math.berkeley.edu/~lam/amspfaff.pdf

Answer 3

Considerar $\pmatrix{2&3\cr 2&3}$ $\mathbb{Z}/6$ su determinante es $0$ y $2x+3y=0$ implica que el $2x=3y$. Pero son de los múltiplos de $2$ ${0,2,4}$ y los múltiplos de $3$ ${0,3}$.