¿Dónde me equivoqué con mi extraña prueba de que$\frac{3dx}{3x} = \frac{5dx}{5x} \iff 3=5$?

Question

No sé dónde me equivoqué, pero es interesante para mí. Por favor, comprueba dónde está mi culpa Es obvio que la siguiente ecuación es correcta:

$$\frac{3dx}{3x}=\frac{5dx}{5x}$ $$$u=3x$$and$$v=5x$ $$$\frac{du}{u}=\frac{dv}{v}$ $ integre ambos lados:$$ln(u)=ln(v)$ $$$u=v$ $$$3x=5x$ $ entonces,$$3=5$ $

Answer 1

Integrando obtenemos

ps

Answer 2

Si usted está tomando una integral indefinida, entonces usted necesita para incluir constantes. Integrando, obtenemos $\ln(u)+C_1 = ln(v)+C_2$. Podemos recopilar $C_1$ $C_2$ en un constante mediante el establecimiento $C_3 = C_2-C_1$, consiguiendo $\ln(u) = ln(v)+C_3$. Podemos entonces exponentiate ambos lados, obteniendo $u=ve^{C_3}$. Establecimiento $C_4=e^{C_3}$, esto se convierte en $u=C_4v$. En este caso, $C_4$$\frac35$.

Si usted está tomando las integrales definidas, deberá incluir los límites. Supongamos que vamos a integrar a partir de $x = 1$. A continuación, $u$ comienza a $3$. Así que cuando integramos $\frac{du}u$, $\ln(u)$ en el límite superior, pero tenemos que restar $\ln$ del límite inferior y el límite inferior es de $3$. Así tenemos que la integral definida es $\ln(u)-\ln(3)=\ln(\frac u3)$. Del mismo modo, para $v$, tenemos que la integral definida es $\ln(\frac v 5)$. Conectar $u=3x$$v=5x$, obtenemos $\ln(\frac {3x}3)=\ln(\frac {5x} 5)$, que se simplifica a $\ln(x)=\ln(x)$.

Answer 3

A su vez mi comentario en una respuesta, la prueba es correcta hasta el paso $$ \frac{\mathrm{d} u}{u} = \frac{\mathrm{d} v}{v} $$

En ese punto, como otros han dicho, que te olvides de añadir las constantes de integración cuando se integran:

$$ \ln u + \mathrm{C_1} = \ln v + \mathrm{C_2} $$

Sustituyendo $\mathrm{C} = \mathrm{C}_2 - \mathrm{C}_1$ nos da:

$$\begin{align} \ln u &= \ln v + \mathrm{C} \\ \ln u - \ln v &= \mathrm{C} \\ \end{align}$$

Sustituyendo $\mathrm{C}$ en la primera ecuación nos consigue $\ln u = \ln u$, que es evidente que no hay contradicción. Un poco más interesante, quizás, es a su vez la identidad $\mathrm{C}$, $\ln u - \ln v$, en $\ln \frac{u}{v}$ y luego se sustituye en la otra ecuación anterior para obtener:

$$\begin{align} \ln u &= \ln v + \ln \frac{u}{v} \\ &= \ln \left( v \cdot \frac{u}{v} \right) \end{align}$$

Ahora tome la exponencial de ambos lados.

$$\begin{align} u &= v \cdot \frac{u}{v} \\ 3x &= 5x \cdot \frac{3x}{5x} \\ 3 &= 5 \cdot \frac{3}{5} \end{align}$$

Esto es probablemente lo que Serge Seredenko quiso decir cuando dijo en su comentario que el 3 es igual a 5, "[e]n este caso se multiplica por una constante."