Estoy calculando los valores propios de la matriz $\begin{pmatrix} 2 &0 &0& 1\\ 0 &1& 0& 1\\ 0 &0& 3& 1\\ -1 &0 &0 &1\end{pmatrix}$ ,
que son $1$ , $3$ , $\frac{3}{2}+\sqrt{3}i$ y $\frac{3}{2}-\sqrt{3}i$ .
Deseo reconocer a los más grandes y a los más pequeños. Pero, ¿cómo puedo comparar números reales y complejos?
En general, cuando se habla del "mayor" valor propio, se suele hablar del mayor en valor absoluto (o magnitud), donde $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ .
Esto significa que a veces no hay un valor propio que sea el "mayor", porque dos valores propios diferentes pueden tener el mismo valor absoluto.
Como han mencionado otros, los números complejos no están ordenados en sí mismos.
Como se menciona en los comentarios, si se sabe que una matriz sólo tiene valores propios reales, la cuestión de los valores propios "mayores" y "menores" dependerá del contexto.
El "mayor" valor propio de una matriz $A$ suele ser interesante, sobre todo cuando es única, porque entonces para grandes $n$ , $A^n$ está dominada por la acción sobre los vectores propios para esos valores. Esto es útil para poner límites a $A^n\mathbf v$ .
Hay que tener cuidado con una cuestión: cuando se habla del valor propio más pequeño de una matriz hermitiana, se puede referir al valor "más bajo" (por ejemplo, con la energía del estado básico de un hamiltoniano de QM -siempre se puede calibrar para que sea positivo, pero es bastante común que todas las energías sean negativas) o, de hecho, al valor absoluto más pequeño.
Supongamos que hubiera una orden en $\mathbb{C}$ compatible con el orden natural en $\mathbb{R}$ . Entonces, o bien $i>0$ o $i<0$ . Supongamos que $i>0$ y multiplicando esta desigualdad por $i$ encontramos que $-1=i^2>0$ pero eso es una contradicción. Por lo tanto, $i<0$ . Pero luego multiplicando por $i$ obtenemos $-1=i^2>0$ (la desigualdad se ha invertido porque hemos multiplicado por un número negativo). En ambos casos llegamos a una contradicción. Por tanto, no hay orden en $\mathbb{C}$ compatible con $\mathbb{R}$ .
Bueno es $(0,1)$ o $(1,0)$ ¿más grande? Hay que reducir las cosas a números reales de alguna manera para comparar valores complejos. O bien has calculado mal los valores propios, o has entendido mal la pregunta.
Hay un total de pedidos en $\mathbb{C}$ (por ejemplo, el orden lexicográfico, para el que $1 > i > -i > -1$ ). No sé qué quiere decir con " natural ", aunque es cierto que $\mathbb{C}$ no puede convertirse en un campo ordenado. De todos modos, en el contexto de los valores propios lo que cuenta es el valor absoluto, como dice Thomas Andrews.
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