Límite superior para la serie$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(n+1)^{a+1}}\sum_{k=0}^n b^k\left(\frac{(n-k)!}{n!}\right)^a$

Question

Quiero mostrar que la serie

ps

converge para$$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(n+1)^{a+1}}\sum_{k=0}^n b^k\left(\frac{(n-k)!}{n!}\right)^a$. Lo he intentado tanto que la menor pista probablemente sea suficiente. Hice una pregunta antes, que hubiera sido suficiente, pero no es cierto. En este momento estoy realmente atascado y frustrado. ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Para su comodidad, tenemos en cuenta la suma de partida en $n=0$. Entonces $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^{a+1}}\sum_{k=0}^n b^k\left(\frac{(n-k)!}{n!}\right)^a &=& \sum_{k=0}^\infty \frac{b^k}{(k!)^a} \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{(n+1)^{a+1}} \frac{1}{{n\choose k}^{a}} \\ &\leq& \sum_{k=0}^\infty \frac{b^k}{(k!)^a} \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{(n+1)^{a+1}} \\ &\leq& \zeta(a+1) \sum_{k=0}^\infty \frac{b^k}{(k!)^a}. \\ \end{eqnarray*}$$ Hemos utilizado el hecho de que $1/{n\choose k}^a \leq 1$$a>0$. Observe que $k!^a \geq k!$ si $a\geq 1$. Por lo tanto, la suma es delimitada por $\zeta(a+1) \sum_{k=0}^\infty b^k/k! = \zeta(a+1)e^b$ si $a\geq 1$.

La suma converge si $\sum_{k=0}^\infty b^k/(k!)^a$ converge. Pero la relación de los términos sucesivos va como $b/k^a$, y así se desvanece en el límite desde $a>0$. Por lo tanto, la serie converge. Aviso de la convergencia de $\sum_{k=0}^\infty b^k/(k!)^a$ puede ser muy lento. Deje $a=1/10$$b=10$. No es hasta que llegamos a $k=10^{10}$ que la proporción de términos sucesivos es de menos de $1$.

Answer 2

Es suficiente para demostrar que la suma de $n\geq0$ converge. El cambio de sumas de dinero y la manipulación de la que obtengo:

$$\sum_{k\geq0}\frac{b^k}{k!}\sum_{n\geq k}\frac{1}{(n+1)^{a+1}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)}$$

$$\leq\sum_{k\geq0}\frac{b^k}{k!}\sum_{n\geq k}\frac{1}{(n+1)^{a+1}}$$

$$\leq\sum_{k\geq0}\frac{b^k}{k!}\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+1)^{a+1}}$$

$$=\sum_{k\geq0}\frac{b^k}{k!}C=Ce^{b}$$

donde $C$ es una constante $<\infty$ porque $a+1>1$.