Para la primera parte de su pregunta, considera que la restricción del operador $S: C(X) \to C(F)$$S(f) = f|_F$. Observar que $S$ es continua y lineal de la norma $1$ (a menos que $F$ está vacío) y que por la hipótesis de $T: C(F)\to C(X)$ tenemos que $$ST = 1_{C(F)}.$$ Therefore $T$ must be injective and $P = TS$ satisfies $P^2 = (TS)^2 = T(ST)S= TS = P$, so $P$ is a projection operator whose kernel satisfies $\ker{P} = \ker{TS} = \ker{S} = Z$ by injectivity of $T$ and the definition of $Z$ en su pregunta.
Ahora defina $W = \ker(1_{C(X)}-TS)$, lo $W$ es por definición un subespacio cerrado de $C(X)$. Siguiente, $T(C(F)) \subset W$ porque $(1-TS)Tf = Tf- T(ST)f = 0$ $W \subset T(C(F))$ porque $w \in W$ tenemos $w = TS(w)$. Por lo tanto, $T$ es un isomorfismo $T: C(F) \to W$.
Dotar a $W$ $Z$ con la restricción de la norma de $C(X)$. A continuación, el mapa de $R: W \oplus Z \to C(X)$ $R(w,z) = w+z$ es continua con inversa continua $f \mapsto (TSf, (1-TS)f)$, lo $C(X)$ $W \oplus Z$ son isomorfos como los espacios de Banach.
La segunda parte de tu pregunta es un poco más difícil. De hecho, no es el teorema debido a K. Borsuk desde principios de los años treinta que se da la existencia de una extensión de operador muy general:
Deje $F$ ser un no-vacío subconjunto cerrado de un pacto métrica del espacio $K$. Entonces, hay una continua operador $T: C(F) \to C(K)$ tal que $\|T\| = 1$, $T(1) = 1$ $(Tg)|_{F} = g$ todos los $g \in C(F)$.
Prueba de ello es, por ejemplo, como el Teorema de la 4.4.4 en la página 89 en Albiac–Kalton. La idea de la prueba es esta: por la juiciosa elección de una partición de la unidad de $U = K \smallsetminus F$ podemos extender una función continua en a $F$ a una función sobre todo de $K$.
La prueba del caso general no es muy difícil, pero en el caso especial de un no-vacío cerrado subconjunto $F$ $[0,1]$ el resultado es mucho más fácil, porque podemos aprovechar la estructura del intervalo:
Tenga en cuenta que $U = [0,1] \smallsetminus F$ puede ser escrito como una contables de la unión de pares disjuntos no vacíos abrir los intervalos de $U = \bigcup_{j \in J} (a_j,b_j)$$a_j, b_j \in F \cup \{0,1\}$. En cada intervalo de $(a_j,b_j)$, simplemente podemos interpolar linealmente $f$ $f(a_j)$ $f(b_j)$o, más formalmente, para $f\in C(F)$ poner
$$
(Tf)(x) =
\begin{cases}
f(x) & \text{if } x \in F \\
\frac{1}{(b_j-a_j)}\left(f(a_j)(b_j-x) + (x-a_j)f(b_j)\right),
& \text{if }x \in (a_j,b_j)
\end{casos}
$$
donde pongamos $f(0) = 0$ $f(1) = 0$ en el caso de que cualquiera de $0,1$ no radica en $F$ [no hay el menor defecto que $T(1_{F}) \neq 1_X$ si $\{0,1\} \not\subset F$, pero que es fácilmente reparado: elige un punto arbitrario $x_0 \in F$ e interpretar $f(0)$ $f(1)$ $f(x_0)$ si es necesario].
A continuación, $Tf(x)$ es una función continua en a $[0,1]$ $T: C(F) \to C(X)$ es un operador lineal de la norma $1$ tal que $Tf|_{F} = f$ todos los $f \in C(F)$.
