El número de clases de conjugacy está allí sobre$\mathbb{F}_p$

Question

Estoy luchando con el próximo ejercicio de mi HW:

¿Cuántas clases de conjugacy hay en$GL_3(\mathbb{F}_p)$? ¿Y cuántos en$SL_2(\mathbb{F}_p)$?

Se trata del tema de la forma normal de Frobenius de módulos generados de forma finita sobre$\mathbb{F}_p$.

Agradecería cualquier idea.

Answer 1

Para el grupo lineal general sugiero que te cuente el (irreductible) lineal de los polinomios con los no-cero término constante, la irreductible cuadráticas, y, finalmente, la irreductible cúbicas. Usted, a continuación, obtener una clase conjugacy para cada cúbicos, $C(f(X)$; una clase conjugacy para cada par (lineal, cuadrático irreducible), $C(X-\alpha)\oplus C(q(X)$; y luego se dejan tratar con los elementos, en donde el polinomio característico es el producto de factores lineales. Estos últimos se dan clases de tipos $C((X-\alpha)^3)$, $C((X-\alpha)^2)\oplus C(X-\beta)$, $C(X-\alpha)\oplus C(X-\beta) \oplus C(X-\gamma)$. (Nota, $\alpha=\beta$ es posible.)

Para el grupo especial que se necesita para identificar cuáles de estas clases es en el grupo, y luego investigar los tamaños relativos de las centraliser de un elemento en el grupo especial y el grupo general para ver si el $GL$-órbita se divide en menor $SL$de las órbitas.

Answer 2

• El caso de $\operatorname{GL_3}(\Bbb{F}_p)$

Para una determinada clase conjugacy $c$ cada elemento tiene un idéntico Jordan en la forma (que vive en $GL_3(\Bbb{F}_p^3))$. Si el mínimo polinomio tiene grado $3$, entonces su forma normal de Jordan parece $$ \begin{pmatrix}\alpha & 0 & 0\\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\alpha & 1 & 0\\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \beta \end{pmatrix} \text{ or } \begin{pmatrix}\alpha & 1 & 0\\ 0 & \alpha & 1 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix}$$ for three distinct $\alpha, \beta$ and $\gamma$, the Jordan block necessary for the degree to be 3. This accounts for $p \cdotp\cdot(p-1)$ monomials of the form $x^3+ax^2+bx+c$ with $c \neq 0$.

Si el polinomio tiene grado $2$, entonces cada monomio con dos raíces distintas gradas para dos clases conjugacy con los representantes $$ \begin{pmatrix}\alpha & 0 & 0\\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \beta \end{pmatrix} \text{ or } \begin{pmatrix}\alpha & 0 & 0\\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \beta \end{pmatrix} $$ Since now $\alpha, \beta \en \Bbb F_p$ we have $(p-1)(p-2)/2$ monomials of the form $(x-\alpha)(x-\beta)$ standing for $(p-1)(p-2)$ classes. We have to add $p-1$ classes with monomial a quadratic of degree $2$ with discriminant $0$. These are represented by the matrices $$ \begin{pmatrix}\alpha & 1 & 0\\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix} $$ Finally the monomials of degree $1$ all give rise to scalar matrices, so there are $p-1$ una de esas clases.

Finalmente obtenemos el resultado por el número de clases : $p^2(p-1) + (p-1)(p-2)+ (p-1)+ (p-1) = (p-1)p(p+1)$.

• El caso de $\operatorname{SL_2}(\Bbb{F}_p)$

Trabajamos analoguously como en el primer caso, por el grado del monomio.

Para el grado dos tenemos tres posibilidades : la primera es cuando el discriminante del polinomio mínimo es un cuadrado. Esto nos da $(p-3)/2$ matrices de la forma $\left(\begin{smallmatrix} \alpha & 0 \\0 & 1/\alpha \end{smallmatrix}\right)$ donde $\alpha \in \Bbb F_p \setminus \{-1,0,1\}$. Otro caso en el grado $2$ es cuando el discriminante no es un cuadrado y $\alpha, \beta $ viven en $\Bbb F_{p^2}$. Hay $(p-1)/2$ de ellos. Luego tenemos las matrices de la forma $\left(\begin{smallmatrix} \alpha & \gamma \\0 & \alpha \end{smallmatrix}\right)$. Un pequeño cálculo nos muestra que para cada valur de $\alpha = -1,1$ hay dos clases de deoepending si $\gamma $ es un residuo cuadrático o no de contar para la $4$ clases adicionales, y si añadimos los dos escalares clases de $I$ $-I$ se obtiene el siguiente resultado:

$(p - 3) / 2 + (p - 1) / 2 + 6 = p + 4$ clases