THERRY: En lo que se refiere al aspecto subyacente, sí.

Question

He utilizado la siguiente idea como una caja negra por algún tiempo ahora, pero se me ocurrió no entiendo por qué es verdad.

Supongamos $A=M_n(R)$ es el álgebra de matrices cuadradas a través de algunas de la división de anillo de $R$. Entonces para cualquier $\phi\in\operatorname{Aut}(A)$, podemos escribir $\phi$ como la composición de un automorphism inducida por un automorphism $\psi$ $R$ y la conjugación por alguna unidad de $A$. Más explícitamente, para $\psi\in\operatorname{Aut}(R)$, esto induce una automorphism $\tilde{\psi}$ $A$ mediante la aplicación de $\psi$ a cada una de las entradas de la matriz, por ejemplo, $$ M=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \mapsto \tilde{\psi}(M)\begin{pmatrix} \psi(a_{11}) & \psi(a_{12})\\ \psi(a_{21}) & \psi(a_{22}) \end{pmatrix} $$ y entonces podemos conjugar por una matriz invertible en a $A$, decir $N$, para obtener el $N\tilde{\psi}(M)N^{-1}$. No creo que el orden de aplicación de $\tilde{\psi}$ o de la conjugación de los asuntos, ya que si yo conjugado en primer lugar, entonces yo podría aplicar otro $\tilde{\psi}$. Por lo que la composición sería algo como $\phi=\varphi_N\circ\tilde{\psi}$ donde $\varphi_N$ es la conjugación por $N$ mapa.

Mi pregunta es, por qué automorphism $\phi$ $A$ realmente ser descompuesto en este camino?

Answer 1

Un caso especial: Vamos a $\phi:M_n(R)\to M_n(R)$ ser un automorphism. Se restringe a un automorphism del centro de $M_n(R)$, que es el mismo que el centro de $K=Z(R)$$R$, que es un campo. Si suponemos que esta restricción $\phi|_K$ es la identidad y que $R$ es finito, entonces el Tro-Skolem teorema nos dice que $\phi$ es la interior, que es, por la conjugación de un elemento invertible de $M_n(R)$.

El caso general se expresa en Álgebra IX: Grupos Finitos de la Mentira, de Tipo Finito-dimensional de la División de Álgebras, por A. I. Kostrikin y I. R. Shafarevich, en el capítulo II, sección 3. Ven a $M_n(R)$ como un álgebra sobre un campo y busca automorfismos que se álgebra automorfismos: pero siempre se puede tomar el campo de tierra para ser el primer campo de el centro de $R$.

Answer 2

Creo que lo que estás describiendo es básicamente el contenido de la Skolem-Noether teorema que establece que una central de simple álgebra $A$ centro $Z$ tiene la propiedad de que todos los $Z$-álgebra automorphism es la interior.

Así, en el caso de una matriz de anillo sobre un campo de $\mathbb{F}$ $F$- lineal de automorfismos interior.

Sin embargo, si su automorphism puede no ser $R$-lineal y puede que no sea central, si usted usa un anillo de división $R$, es decir, el mapa no soluciona $R$. Aquí usted podría decir: "Bueno, $\phi(R)$ es isomorfo a $R$, así que ¿por qué no me acaba de identificar a $R$ $\phi(R)$ y pretender que el mapa original es $R$ lineal?"

Esto suena un poco como lo que usted describe, aunque es más allá de lo que he visto afirmó con la Skolem-Noether teorema.