Stein simplemente conectado hendidura

Question

DECLARACIÓN: Demostrar que el plano complejo de hendidura a lo largo de la unión de los rayos $\cup_{k=1}^n\left\{A_k+iy: y\leq 0\right\}$ es simplemente conectado.

Esta es la pregunta 19 en el capítulo 8 de Stein Complejo Análisis de texto.

PREGUNTA: no entiendo lo que está pidiendo. Podría alguien por favor proporcione una imagen o un cambio en la redacción de la declaración, para hacerla más clara. Tenga en cuenta que no quiero una respuesta, más bien sólo quiero ayudar con el análisis de lo que se dice en la pregunta. Gracias.

PREGUNTA 2: no estoy seguro de cómo proceder con este problema. Supongo que dados dos puntos y dos curvas de la conexión de los puntos que me puede cambiar en la mitad superior del plano que está conectado, pero me parece que no puede encontrar un homotopy que se deforma de una curva a otra sin conflicto. La única solución que se me ocurre es que desde la mitad superior del plano está conectado, podríamos ser capaces de asumir que no existe un homotopy que es completedly contenida en el espacio entre las dos curvas, inclusive. Cualquier sugerencia.

Answer 1

Cada uno de los conjuntos de la unión es un rayo que es un desplazamiento horizontal de la cerrada negativa $y$-eje. Todos estos rayos son para ser eliminado desde el avión, realizar una secuencia de cortes en el plano, como la eliminación de los apuntando hacia abajo los dientes de un peine. A usted se le pide mostrar que lo que queda es un simple conectado subconjunto del plano.

Answer 2

                                

Deje $A_1, A_2, \dots, A_n$ ser números reales y$$\Omega = \mathbb{C} \setminus \bigcup_{k=1}^n \{A_k + iy : y \le 0\}.$$We will show that $\Omega$ is simply connected. Set$$\Gamma = \{z \in \mathbb{C}: \text{Im}\,z = y = 1\}.$$Then $\Gamma$ is just a line and thus simply connected. To show that $\Omega$ is simply connected, we will show that $\Gamma$ is a retract of $\Omega$. We define a function $H$ as follows:$$H: \Omega \times [0, 1] \to \Omega,\text{ }H(z, t) = (x, (1 - t)y + t) = z + it(1 - y).$$To check that $H$ is well-defined, we take $z = A_k + iy$, where $y > 0$, and check that $H(z, t) \in \Omega$ for all $t \en [0, 1]$. We have$$H(z, t) = A_k + i((1 - t)y + t)$$and$$(1 - t)y + t >0$$for all $t \en [0, 1]$. Thus, $H$ is well-defined. We see that $H$ is also continuous and $$H(z, 0) = z \text{ for all }z \in \Omega,\text{ }H(z, 1) = x + i \text{ for all }z \in \Omega.$$Thus, $H$ is a deformation retract of $\Omega$ onto $\Gamma$. Thus,$$\pi_1(\Omega, *) \simeq \pi_1(\Gamma, *) \simeq \{0\}.$$Therefore, $\Omega$ es simplemente conectado.