Intercambio de supremum y la expectativa

Question

Deje $B_n:=\{f\in L^\infty_+\mid f\le n \}$, si consideramos, $L^\infty$ con los débiles$^*$ topología. Tengo los siguientes conjuntos

$$D(z):=\{h\in L^0_+(\mathcal{F}_T)\mid h\le Z_T \mbox{ for a }Z\in Z(z)\}$$ donde $Z(z)$ es el conjunto de positivo (RCLL) supermartingales en $[0,T]$$E[Z_0]\le z$. Por otra parte $U$ es una función de $\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$, estrictamente creciente, estrictamente cóncava y $C^1$. Para un $h\in D(z)$ quiero probar

$$\sup_{f\in B_n} E[U(f)-hf]=E[\sup_{f\in B_n}\{U(f)-fh\}]$$

Una dirección es clara: $E[U(f)-hf]\le E[\sup_{f\in B_n}\{U(f)-fh\}]$, por lo tanto

$$\sup_{f\in B_n} E[U(f)-hf]\le E[\sup_{f\in B_n}\{U(f)-fh\}]$$

la desigualdad de $"\ge "$ me molesta. ¿Cómo puedo resolver este problema? Sé que la igualdad es verdadera. Gracias por su ayuda

Answer 1

Fix $U:\mathbb R^+\to \mathbb R$ anterior.

Para cada $y\in\mathbb R$ la función de $g_y: [0,n]\to \mathbb R$ definido por $$ g_y(x) = U(x) -xy $$ es continua en el intervalo compacto [0,n].

Por lo tanto, $g_y$ es acotada y alcanza sus límites y podemos establecer $$G(y) = \sup_{x\in[0,n]} g_y(x)$$ y definir una función $F:\mathbb R\to [0,n]$ tal que $$g_y(F(y)) =G(y).$$

Que es $F(y)$ es el maximizer de $g_y$.

Por lo tanto, tenemos $$E(\sup_{f\in B_n} U(f) - fh) \leq E(\sup_{x\in[0,n]} U(x) - xh) = E(G(h)).$$

Es fácil ver a partir de sus condiciones en $U$ que $F$ es continua.

Por lo tanto la composición de la $X(\omega) = F(h(\omega))$ es medible y tenemos $X\in B_n$.

Por lo $$\sup_{f\in B_n}E( U(f) - fh) \geq E( U(X) - Xh) = E(g_h(X)) = E(G(h)).$$

Por lo tanto $$\sup_{f\in B_n}E( U(f) - fh) \geq E(\sup_{f\in B_n} U(f) - fh).$$