Si $\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dy} = 1$ , lo hace $\frac{d^2 y}{dx^2} \frac{d^2 x}{dy^2} = 1$ ?

Question

Lo sé. $\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dy} = 1$ porque la regla de la cadena dice $1 = \frac{dy}{dy} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dy}$ . Pero, ¿es así? $\frac{d^2 y}{dx^2} \frac{d^2 x}{dy^2} = 1$ ? ¿O sería demasiado bueno para ser verdad?

Answer 1

Lo que sí es cierto es que (suponiendo siempre que $y$ es una función unívoca de $x$ en algún intervalo) $$ \eqalign{\dfrac{d^2 x}{dy^2} &= \dfrac{d}{dy} \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{dx}{dy} \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{-1}\cr &= - \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{-3} \dfrac{d^2 y}{dx^2} }$$

Para tener $\dfrac{d^2 x}{dy^2} \dfrac{d^2 y}{dx^2} = 1$ , necesitarías $$ \left(\dfrac {d^2 y}{dx^2}\right)^2 = - \left( \dfrac{dy}{dx}\right)^3$$

Las soluciones de esta ecuación diferencial son $$ y = \dfrac{4}{a+x} + b$$ para las constantes $a,b$ .

Answer 2

Si quiere un ejemplo en el que las derivadas no se desvanecen, considere $y=x^3$ (así $x=y^{1/3}$ ). Entonces:

$$ \frac{dy}{dx}=3x^2 $$ et $$ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{3}y^{-2/3}=\frac{1}{3}x^{-2} $$ et $$ \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dy}=3x^2\cdot\frac{1}{3x^2}=1. $$

Por otro lado, $$ \frac{d^2y}{dx^2}=6x $$ et $$ \frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{2}{9}y^{-5/3}=-\frac{2}{9x^5}. $$ Sin embargo, $$ \frac{d^2y}{dx^2}\frac{d^2x}{dy^2}=6x\cdot\left(-\frac{2}{9x^5}\right)=-\frac{4}{3x^4}\not=1. $$

Answer 3

Considere $y=x$ . Entonces $\frac{dy}{dx} = 1$ y $\frac{dx}{dy} = 1$ . Sin embargo, $\frac{d^2y}{dx^2} = 0 = \frac{d^2x}{dy^2}$ .

Answer 4

No, no es así. Tenga en cuenta que los derivados son operadores no variables. Aun así, es un buen proceso de reflexión. Para un contraejemplo, ver arriba con $y=x$ .