Deje $(X, \prec)$ $(Y, <)$ ser dos conjuntos ordenados. Quiero demostrar que si $X$ es isomorfo a un subconjunto de Y, a continuación, $X$ es isomorfo con un segmento inicial de $Y$. (La otra dirección, es por supuesto cierto).
Agradecería algunos consejos. ¿Esto requiere el teorema de recursión para construir el isomorfismo?
Jonas: Lo que hay que mostrar es que si $Y$ es bien ordenado, entonces cualquier subconjunto $Z$ $Y$ es isomorfo a un segmento inicial de $Y$. ¿Cómo definirías un isomorfismo $f$? Usted no tiene muchas posibilidades: El menor elemento de a $Z$ debe ser asignada por $f$ a el elemento más pequeño de $Y$. El siguiente elemento de $Z$ debe ser asignada por $f$ para el siguiente elemento de $Y$, y así sucesivamente. Sólo tiene que comprobar que esto funciona.
En más detalle, decir que $g$ es una aproximación iff su dominio es un segmento inicial de $Z$, su rango es un segmento inicial de $Y$, e $g$ es un isomorfismo de su dominio en su gama.
Uno de cheques (considerando menos desacuerdos) que cualquiera de las dos aproximaciones coinciden en que la parte común de sus dominios, por lo que podemos dejar a $f$ común será la función resultante de pegar todas las aproximaciones juntos.
Sólo tenemos que ver que $f$ escapes $Z$. Para esto, uno puede comprobar que $f(x)\le x$ todos los $x$, por lo que uno "no se ejecuta fuera de la habitación."
Hay un poco más elegante (y formal) forma de presentar este argumento, apelando al teorema de recursión.
Para$x$$Z$, definir $f(x)=\sup_Y({\rm succ}_Y f(y)\mid y\in Z, y\lt x)$ donde ${\rm succ}_Y a$ significa que el sucesor en $Y$$a$. A continuación, $f$ es, precisamente, el mapa que quería. (Uno todavía necesita un poco de argumento para ver que funciona).
Una difícil pregunta para otro día es si el teorema de recursión es necesario para el argumento. Esto puede ser formalizado por preguntarse si Zermelo la teoría de conjuntos demuestra el resultado (por lo que no tienen acceso a la sustitución), pero no puede ser más fino formulaciones.
(Lo anterior fue escrito rápidamente. Déjame saber de infelicities o llanura de falsedades y voy a tratar de editar).
Vamos a utilizar el hecho de que para cualesquiera dos conjuntos ordenados, bien $X$ es isomorfo a un segmento inicial de $Y$ o de otra forma. (Esto es básicamente tricotomía de la desigualdad de los números ordinales. Algunos autores llaman a esto el teorema fundamental para el bienestar de conjuntos ordenados; ver aquí o aquí.)
Otro hecho útil:
Lema. Si $X$ está bien-conjunto ordenado y $f\colon X\to X$ es una orden-preservar el mapa1, a continuación, $x\le f(x)$ por cada $x\in X$.
Sugerencia: Suponga que esto no es cierto para cada uno de los $x$. ¿Qué se puede decir sobre el mínimo elemento del conjunto no vacío $\{x\in X; x>f(x)\}$?
Ahora, por fin, llegamos a la prueba del hecho de que usted pregunta.
Supongamos que $X$ es isomorfo a un subconjunto de a $Y$ pero no es isomorfo a cualquier segmento inicial de $Y$. A continuación, $Y$ es isomorfo a algunos adecuada del segmento inicial de $X_a$ $X$ (por el teorema fundamental).
Tenemos un orden a la preservación de los mapas de $f\colon X \to Y$ $g\colon Y\to X$ de manera tal que el rango de $g$ no es toda la $X$. A continuación, $h=g\circ f \colon X\to X$ es una orden-la preservación de mapa, el cual se asigna a $X$ a algún subconjunto de $X_a$. Esto significa que $h(x)<a$ por cada $x\in x$ y, en particular, $$h(a)<a.$$ Esto se contradice con el anterior lema.
1Por el fin de preservar nos referimos a $a<b$ $\Rightarrow$ $f(a)<f(b)$; es decir, los mapas que preserven la desigualdad estricta (o, equivalentemente, que son inyectiva y preservar la no-desigualdad estricta.)
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