¿En qué condiciones tiene $x^{\frac{b}{c}} = (x^b)^\frac{1}{c}$?

Question

Es muy común usar la fórmula $$x^{\frac{b}{c}} = (x^b)^\frac{1}{c}$ $ para simplificar la evaluación de un exponente fraccionario.

Quiero saber qué circunstancias nos permiten hacer este paso. Por ejemplo, no funciona en esta situación: % $ $$(-4)^{\frac{2}{4}} = ((-4)^2)^\frac{1}{4} = 16^\frac{1}{4} = 2$la respuesta correcta es $2i$, pero la fórmula rendimientos $2$. Lo que causó que ir mal aquí y en el caso general, ¿cómo podemos evitar errores que se producen por este motivo?

Answer 1

Sostiene siempre.

Pero el teorema de Moivre dice que $z^{\frac{1}{q}}$ es uno de los valores del conjunto $\{|z|^{\frac{1}{q}}\xi: \xi^q=1\}$, $q\in\mathbb{Z}^+$ de siempre.

Así, $16^\frac14\in\{2,-2,2i,-2i\}$

Answer 2

La respuesta de "precálculo" sería: lleva a cabo cuando $x>0$. Y tal vez un ejemplo (como el dada) que puede fallar cuando $x<0$ con una comprensión de "precálculo" de los símbolos. Más tarde, cuando se estudiaron el análisis complejo, puede considerarse lo más intrincado de $x^y$.

Answer 3

Por definición $x^{\alpha}$ es igual a $\textrm{exp}(\alpha \, \textrm{log} \, x)$. Así que por definición es no define si $x$ no es un en $\mathbb R^*_+$. Como consecuencia, no se puede decir que el $\sqrt{-4} = 2i$ es la respuesta correcta.

Todo esto depende de una elección que haga en primer lugar : la opción de extender el logaritmo de la función de$\mathbb R^*_+$$\mathbb C$. Cualquiera de las dos opciones son igual modulo $2i \pi$. En particular, para cualquier $z \in \mathbb C$ existe $n$ tal que $\mathrm{log}(\mathrm{exp} \, z) = z + 2in\pi$.

Aquí están los detalles de lo que falla en tu ejemplo : $ (x^b)^{\frac{1}{c}} = \mathrm{exp}(\frac{1}{c}\mathrm{log}(e^{b \mathrm{log} \,x}))$, de modo que existe $n$ tal que $\mathrm{log}(e^{b \mathrm{log} \, x}) = b \mathrm{log} \, x + 2in\pi$. A continuación,$(x^b)^{\frac{1}{c}} = x^{\frac{b}{c}} \times \mathrm{exp}(\frac{2in\pi}{c})$.

La conclusión es que la fórmula funciona sólo si $x$$\mathbb R^*_+$.

Answer 4

Forma correcta de decir, sería:

Supongamos que tenemos esta ecuación a resolver más de $\mathbb{C}$;
$\displaystyle x^q=x_o^p$ donde $x_o$ es un complejo dado número y $p,q\in\mathbb{Z}$ son coprime enteros.

A continuación, $z$ es simplemente lo que he dicho antes.

Pero si $\gcd(p,q)=d>1$ luego de que las fuerzas de otra condición que $x^\frac{p}{d}=x_0^{\frac{q}{d}}$. Así que, de nuevo por el método anterior, podemos encontrar tal solución.

Por ejemplo- Pero tenemos $x=(-4)^\frac24$.
Esto limitaciones que el valor de $x$ satisfactoria para ambos $x^4=16$ $x^2=-4$ .

Como $x$ la satisfacción de este último, evidentemente, la de satisfacer el ex acabamos de solucionar $x^2=-4$ conseguir $x\in\{2i,-2i\}$