Resolver el problema a través de Cauchy–Schwarz desigualdad

Question

Si $n_1, n_2, ..., n_k$ son enteros, probar que : $$\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}|1+e^{in_1x}+...+e^{in_kx}|dx \leq \sqrt{k+1}$$

mi intento : quiero resolver el problema a través de Cauchy–Schwarz desigualdad :

$$|z|^2 = z. \bar{z}$$ entonces $$| \sum_{\kappa=0}^{k} e^{in_{\kappa}x}|^2 = (\sum_{\kappa = 0}^{k}e^{in_{\kappa}x}) (\sum_{\lambda = 0}^{k}e^{-in_{\lambda}x})$$

donde$n_0=0$, y necesitamos de $n_i$ a ser distinto de cero enteros

Después de eso, ¿cómo demostrar que $$\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}|1+e^{in_1x}+...+e^{in_kx}|dx \leq \sqrt{k+1}$$

Answer 1

La versión relevante de la de Cauchy-Schwarz desigualdad es

$$\left|\int f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int |f(x)|^{2}\,dx\cdot \int |g(x)|^{2}\,dx$$

lo que funciona para cualquier intervalo de integración. Establecimiento $f(x)=1+e^{in_1x}+\dots+e^{in_kx}$ $g(x)=f(x)/|f(x)|$ (o $1$ si $f(x)=0$) da

$$\left(\int_0^{2\pi} |f(x)|\,dx\right)^{2}\leq \int_0^{2\pi} |f(x)|^{2}\,dx\cdot \int_0^{2\pi} 1\,dx$$

El $|f(x)|^2=f(x)\overline{f(x)}$ es sólo una combinación lineal de exponenciales, por lo que puede ser fácilmente evaluado como $2\pi(k+1)$ mediante la suposición de que $0,n_1,\dots,n_k$ son distintos. Esto le da a la deseada enlazado $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(x)|\,dx\leq\sqrt{k+1}$.