Básicos de la Ecuación Diferencial Parcial

Question

Yo bastante nuevo para el cálculo y estoy tratando de entender las siguientes transformaciones:

1. $2uu_{t} = \frac{\partial }{\partial t}u^{2} $
2. $2u_{t}u_{tt} = \frac{\partial }{\partial t}u_{t}^{2} $
3. $2uu_{xx} = 2\frac{\partial }{\partial x}\left ( uu_{x} \right ) -2u_{x}^{2} $

Los dos primeros, creo que están relacionados con la función de potencia de la regla de $\frac{\partial }{\partial x}u^{n} = (n)u^{n-1}u_{x}$.

Pero el último elemento, no estoy seguro... alguien me puede ayudar a entender cómo puedo obtener este resultado?

Answer 1

Correcto para los dos primeros. Para el tercer usted necesita el producto de la regla, que dice que $\frac{\partial}{\partial x}(uv)=u_xv+uv_x$ si $u,v$ son funciones de la $x$. Sí, tenemos:

$$2\frac{\partial}{\partial x}(uu_x)-2u_x^2$$

$$=2(u_x\cdot u_x+u\cdot u_{xx})-2u_x^2$$

$$=2uu_{xx}$$

Answer 2

Sólo utilice la regla del producto en el primer término en el lado derecho: $2\frac{\partial}{\partial x}(u u_x) = 2u_x u_x+2uu_{xx} = 2u_x^2+2uu_{xx}$.

Answer 3

Si se comienza en el lado izquierdo, se pueden integrar y uso por parte:
$$\int 2uu_{xx}dx=2uu_x-2\int u^2_xdx$$ Luego se diferencian ambos lados con respecto a x y obtenemos:
$$2uu_{xx}=2\frac{\partial}{\partial x}(uu_x)-2u^2_x$$ como se desee.

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Si se comienza en el lado derecho, puede utilizar la regla del producto:
$$2\frac{\partial}{\partial x}(uu_x)-2u^2_x$$ $$=(2u_xu_x+2uu_{xx})-2u^2_x$$ $$=2uu_{xx}$$ como se desee.

Answer 4

Vamos a demostrar que $2uu_{xx} = 2\frac{\partial }{\partial x}\big ( uu_{x} \big ) -2u_{x}^{2}$. En primer lugar, elaboramos el primer término del lado derecho :

$$ 2\,\frac{\partial }{\partial x}\big ( uu_{x} \big ) = 2 \big( u_x \cdot u_x + u \cdot u_{xx}\big) = \boxed{\ 2\left( u_x^2 + u u_{xx}\right) \ } $$

Segundo, tenemos que restar $2u_{x}^{2}$ el resultado: $$ 2\frac{\partial }{\partial x}\Big ( uu_{x} \Big ) -2u_{x}^{2} = 2\left( u_x^2 + u u_{xx}\right) -2u_{x}^{2} = 2 u u_{xx}. $$

Por lo tanto hemos demostrado que la $2uu_{xx} = 2\frac{\partial }{\partial x}\big ( uu_{x} \big ) -2u_{x}^{2}$.