Aproximando un gran número

Question

Hay algunos relativamente buena manera de demostrar que $100^{100}-99^{99}>9.92\cdot 10^{199}$ usando sólo lápiz y papel?

Answer 1

Por la desigualdad de Bernoulli, $$\frac{100^{99}}{99^{99}}=\left(1+\frac1{99}\right)^{99}>2$$ (de hecho es $\approx e$), por lo que el $99^{99}<\frac12100^{99}=0.05\cdot 10^{199}$ y, finalmente, $$ 100^{100}-99^{99}>(10-0.05)10^{199}=9.95\cdot 10^{199}.$$

Answer 2

Empezar con $99^{99} = (100-1)^{99}=100^{100}(1-\frac{1}{100})^{99}$. A continuación, expanda esta usando la aproximación binomial. Así que tienen términos como 1-99/100 + 98*99/(100*100 * 2!) etc. Siento que hay una manera más prolija, pero no lo puede ver.